Näherungsweise Ableitung?

Bestimme näherungsweise die Ableitung an der Stelle x0 = 1. Stelle dazu eine Näherungstabelle für den Differenzquotienten auf und setze für x die Werte 3;2; 1,5; 1,1;1,01;1001 ein.

a) f (x) = x2

b) g (x) = x3

Kann mir bitte jemand die Aufgaben genau erklären?

Danke im Voraus.

Answer 1

[Applwind]

Betrachte das Beispiel :

Gesucht ist die Ableitung an der Stelle x = 2, von der folgenden Funktion f:

$f\left(x\right)=x^2,\ x\ \in\mathbb{R}$ Betrachten wir ein Intervall I und bestimmen die mittlere Steigung im Intervall, hierfür gilt nach dem Differenzenquotienten:

$I=\left[2;3\right]$ $m_i=\frac{f\left(3\right)-f\left(2\right)}{3-2}=\frac{9-4}{1}=5$ verkleinern das Intervalls:

$I=\left[2;2,9\right]$ $m_i=\frac{f\left(2,9\right)-f\left(2\right)}{2,9-2}=\frac{8,41-4}{0,9}=4,9$ noch ein kleineres Intervall:

$I=\left[2;2,5\right]$ $m_i=\frac{f\left(2,5\right)-f\left(2\right)}{2,5-2}=\frac{6,25-4}{0,5}=4,5$ usw.

$I=\left[2;2,1\right]$ $m_i=\frac{f\left(2,1\right)-f\left(2\right)}{0,1}=\frac{4,41-4}{0,1}=4,1$ Man könnte vermuten, dass gilt

$f'\left(2\right)\approx4$ aber tatsächlich gilt :

$f\left(x\right)=x^2\ und\ f'\left(2\right)=2\cdot2=4$

Woher ich das weiß: Hobby – Schüler.