Modellierung der Oberfläche einer Pyramide?
Ein pyramidenförmiger Verpackungskörper fasst 200ml. Die Grundfläche ist aus symmetrischen Gründen ein gleichseitiges Dreieck über dessen Schwerpunkt sich der 4 Eckpunkt befindet. Die Höhe ist beliebig und die drei Seiten der Mantelfläche sind nicht gleich der Grundseite. Die Grundfläche kosten 2 Cent pro cm^2, die Seitenflächen 1 Cent pro cm^2, zusätzlich kommen 4 Cent für den Verschluss. Was ist der minimale Herstellungspreis?
1 Antwort
Guckst du hier die Formeln für Volumen und Oberfläche:
https://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Formeln_f%C3%BCr_regelm%C3%A4%C3%9Fige_Pyramiden
Es kommen die Grundseite a und die Höhe h vor.
Die Formel für das Volumen kann man durch Gleichsetzung mit der Vorgabe 200 cm^3 nach a (oder h) auflösen. Dieses a (oder h) kann man in die Formel für die Oberfläche einsetzen. Bei der Oberflächenformel muss man dann den Anteil für die Grundfläche mit 2 multiplizieren, damit man eine Formel für den Verpackungspreis hat. (Kann sein, dass es günstige ist, alles durch a oder aber durch h auszudrücken, das wird sich zeigen.)
Jetzt muss man nur noch Extremwerte in Abhängigkeit von h (oder a) finden, wobei die Lösung h=a (wenn es sie denn gäbe) ausgeschlossen wurde.
Am Ende für den Preis die 4 cent nicht vergessen.