Ist das Heron-Verfahren auch bei einer dritten Wurzel möglich?
Hallo, ich schreibe momentan eine Facharbeit in Mathe. Ich muss die 3√5 in einem Heron Verfahren definieren. Ich weiß wie das Heron-Verfahren bei quadratischen Wurzeln abläuft , habe es aber noch nie bei einer dritten Wurzel gesehen...
2 Antworten
Es ist ganz leicht, die Idee des Heron-Verfahrens so zu modifizieren, dass man damit Kubikwurzeln Schritt für Schritt exakter berechnen kann.
Nehmen wir gerade das vorgeschlagene Beispiel mit der Kubikwurzel aus 5. Als Startwert nehmen wir mal den einfachen ganzzahligen Wert x0 = 2 . Eigentlich suchen wir die Lösung der Gleichung x^3=5 oder also x*x*x=5 . Ersetzen wir nun mal zwei der drei x-Faktoren durch den provisorischen Wert 2, kommen wir auf die Gleichung 2*2*u = 5 . Daraus ergibt sich u= 5/(2*2) = 5/4 = 1.25 . Der provisorische Näherungswert 2 war offensichtlich zu groß, der neue Hilfswert u ist zu klein. Nun nehmen wir einfach mal als neuen Probewert den "gewogenen Mittelwert" x1:= (2+2+1.25)/3 ≈ 1.75 . Natürlich ist die dritte Potenz davon auch noch nicht exakt gleich 5, aber wir kommen dem angestrebten Ziel etwas näher: 1.75^3 ≈ 5.36 .
Also machen wir einfach weitere analoge Schritte in derselben Weise:
x2 = (2*x1 + 5/x1^2) / 3 ≈ 1.71086
x3 = (2*x2 + 5/x2^2) / 3 ≈ 1.70998
x4 = (2*x3 + 5/x3^2) / 3 ≈ 1.70998
... und wir stellen schon fest, dass wir offenbar den exakten Wert schon bis auf 5 Stellen nach dem Komma genau ermittelt haben.
Anstelle der Rekursionsformel
x_(n+1) := (x_n + a / x_n) / 2
zur Berechnung der Quadratwurzel haben wir einfach die Formel
x_(n+1) := (2*x_n + a / (x_n)^2) / 3
für den Fall, wo wir die Kubikwurzel berechnen wollen.
Das Heronverfahren ist ein Spezialfall für das Newtonverfahren für Quadratische Funktionen. Wenn du das gleiche Verfahren für 3√5 verwendest, bekommst du einfach die Lösung für die ganz normale Quadratwurzel. Das willst du natürlich nicht. Du kannst eine ähnliche Formel für jede Art der Wurzel aufstellen. Schau mal hier unter der Überschrift: Verallgemeinerung auf beliebige Wurzeln. Dort ist genau dein Fall beschrieben:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/heronframe.htm
Wenn du schon Ableiten kannst, kannst du die Formel auch bekommen, in dem du die Funktion f(x) = x³-a und die Ableitung einfach in das Newtonverfahren einsetzt.