Injuktiv, surjetktiv und bjektiv?
Wie überprüfe ich mathematisch, ob die Funktion (x) = 2^x. Ich weiß, dass es injuktiv ist, weil ich den Graphen gegoogelt habe und es daraus sehen kann aber, wenn ich nicht weiß, wie der Graph aussieht, wie überprüfe ich das mathematisch?
2 Antworten
Definiere erstmal die Abbildung sauber, denn davon hängt insbesondere ab, ob die Funktion surjektiv ist. Wir definieren:
Injektivität beweisen wir, indem wir zeigen, dass eine Gleichheit der Funktionswerte automatisch auch eine Gleichheit der Argumente impliziert:
Gelte also
dann erhalten wir durch Anwenden des binären Logarithmus
also ist f injektiv.
f ist nicht surjektiv,
dafür geben wir einfach einen Wert der Zielmenge an, auf den nicht abgebildet wird: Zum Beispiel -1, denn
Schränken wir die Zielmenge allerdings auf die positiven reellen Zahlen ein, kann die Funktion auch surjektiv sein,
ist beispielsweise surjektiv und damit auch bijektiv, denn es gilt
und
(das gilt nur, weil das y nicht nicht-positiv sein kann, sonst wäre der Logarithmus nicht definiert).
Injektiv heißt ja, dass für x1 ungleich x2 folgendes gelten muss: f(x1) ungleich f(x2).
Also setzen wir f(x1) und f(x2) einfach mal gleich, damit wir im falle der Injektivität einen Widerspruch bekommen:
2^(x1) =2^(x2) || Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden
<=> x1=x2, was jedoch unserer Annahme von x1=x2 widerspricht. Also ist die Funktion injektiv.
Surjektivität kannst du leicht widerlegen, indem du dir einfach einen Wert im Wertebereich aussuchst, der nicht abgebildet wird. Zum Beispiel eine beliebige negative zahl
Gruß davebot
"x1=x2, was jedoch unserer Annahme von x1=x2 widerspricht" Hä? Da ist doch das Gleich, also hast du die Annahme getroffen?