Erwartungswert Aufgabe Mathe?
Hay, es geht um eine Aufgabe, in der man die Winkel/ Sektoren eines Glücksrads mit Mitteln der Analysis ändern muss, um eine größtmögliche Wahrscheinlichkeit für die Fälle zu ermitteln, in denen der Gewinn einbehalten wird.
Die Angaben waren folgende:
Das Rad weist vor der Änderung 3 Sektoren auf:
pink (180 Grad), grün (90 Grad) und lila (90 Grad)
Der Einsatz pro Spiel beträgt 1 Euro und man hat drei Versuche
- 3 Mal dieselbe Farbe gibt 2 Euro und damit 1 Euro gewinn
- 2x dieselbe gibt 1 Euro also 0 Euro gewinn
- alle anderen fälle bedeuten kein Gewinn oder -1 Euro also Verlust
Für die Aufgabe bleiben die Spielregeln gleich, aber Sektor Pink soll nach der Änderung doppelt so groß sein wie der grüne. Zudem sollen die Fälle, in der der Einsatz einbehalten wird, das Maximum erreichen.
Wie mache ich das ?
1 Antwort
Die Wahrscheinlichkeiten für die Farben seien mit den Anfangsbuchstaben bezeichnet, p, g, und l. Es ist natürlich p+g+l=1 und es soll p=2g sein. Dann ist 3g+l=1 und l=1-3g.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Einsatz komplett einbehalten wird, berechnen wir als 1 minus die Wahrscheinlichkeit der andern Fälle, die da sind:
3 mal dieselbe Farbe:
p³ + g³ + l³ = (2g)³ + g³ + (1-3g)³ = -18 g³ + 27 g² - 9 g + 1
2 mal dieselbe Farbe:
3p²(1-p) + 3g²(1-g) + 3l²(1-l) = 3(2g)²(1-2g) + 3g²(1-g) + 3(1-3g)²(1-(1-3g)) = 54 g³ - 39 g² + 9 g
Also soll maximal werden:
1 - (-18 g³ + 27 g² - 9 g + 1) - (54 g³ - 39 g² + 9 g) = 12 g² - 36 g³
Das geschieht bei g=2/9.
Die Umrechnung in Grad für p, g, und l darf ich dir überlassen.
