Brauche Hilfe bei einer Extremwertaufgabe?

Aufgabe:

Ein Gärtner besitzt Umrandungssteine für eine Strecke von 10 m. Er möchte damit ein kreisförmiges Rosen- und ein quadratisches Tulpenbeet abgrenzen. Welche Maße r und x sollten diese Beete erhalten, wenn die Gesamtfläche - und damit der Pflanzenbedarf - möglichst klein ausfallen soll?

Kann mir jemand dabei helfen, bin bis hier hin gekommen, aber ab der Stelle wo man die Nullstelle der ersten Abkeitung sucht komme ich nicht weiter! Wie kommt man auf die richtige Lösung?

Comments

[Mathetrainer]

Warum postest du nicht mal deine Haupt- und Nebenbedingungen und wie du zur Zielfunktion gekommen bist?

[Paboss3711]

Habe ich auf dem Zettel! Falls man es nicht lesen kann

Hauptbedingung:

x²+pi×r²

Nebenbedingung:

4x+2pi×r

Zielfunktion:

A(x)= x²+(100-80x+16x²/4×pi)

Answer 1

[Mathetrainer]

Also, bei der Ableitung ist ein Fehler drin, denn die Ableitung von 16 x^2 ist 32 x und nicht wie du geschrieben hast, 30x.

So, nach dem Null setzen alles mit 4 * \pi multiplizieren. $8\pi x-80+32x=0$

$x\cdot\left(8\pi+32\right)=80$ $x=\frac{80}{8\pi+32}=1,4$ $A''\left(x\right)=8\pi+32>0$ Bei x=1,4 liegt somit ein Minimum vor.

Über die Nebenbedingung kannst du jetzt mit diesem x den Radius ausrechnen.

Comments

[Paboss3711]

Dankeschön, das ist alles sehr gut nachvollziehbar! Vielen Dank