Binomialverteilung und Normalverteilung?

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1 Antwort

Hallo,

Aufgabe a) könnte man näherungsweise über die Normalverteilung angehen.

Der Gedanke dahinter ist, daß der Anteil der Gewinnlose unter 100 von 1000 gekauften Losen um den Erwartungswert 30 normalverteilt ist. Wenn Du also viele Versuchsreihen startest, in denen Du aus den 1000 Losen mit 300 Gewinnen und 700 Nieten jeweils 100 ziehst und die Gewinnlose unter diesen 100 zählst und diese Anzahl in eine Tabelle einträgst, der Spitzenwert der Einträge bei 30 liegen würde und links und rechts der 30 gleichmäßig abfallen würde.

Die Formel für die Normalverteilung lautet: 
f(x;µ;σ)={e^[-0,5*((x-µ)/σ)²)]}/[σ*√(2π)]

wobei µ der Erwartungswert ist (bei 100 Losen also 30 Gewinne) und 
σ die Standardabweichung, die sich aus √(µ*(1-p)) berechnet.

Da p=0,3 ist 1-p=0,7 und die Wurzel aus 30*0,7 ist gleich 4,5826

Du bildest also die Summe für x=27 bis x=33 der Normalverteilung und bekommst so die Gegenwahrscheinlichkeit (wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Zahl der Gewinnlose um höchstens 3 vom Erwartungswert abweicht?) Ziehst Du das Ergebnis von 1 ab, sollte das Ergebnis in etwa herauskommen.

Also: 1-Σ{x=27 bis x=33}: {e^[-0,5*((x-30)/4,5826)²]}/11,4869=0,4441, was recht nah an der angegebenen Lösung ist.

Wenn Du über die Binomialverteilung gehst, also 
1-Σ{x=27 bis x=33}: (100 über x)*0,3^x*0,7^(100-x)
kommst Du auf 0,4451, was noch etwas näher dran ist.

Bei Aufgabe b) kannst Du auch fragen:

Wie hoch müßte der Anteil der Lose sein, damit unter 5 gekauften Losen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % kein einziges Gewinnlos darunter ist?

Also: x^5=0,01, wobei x der Anteil der Nieten wäre.

x=Anteil der Nieten ist die 5. Wurzel aus 0,01, also 0,3981

Der Anteil der Gewinne liegt dann bei 1-0,398=0,602

Herzliche Grüße,

Willy

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