Binomialverteilung- Tombola?
Eine Tombola beinhaltet 3000 Lose. Von diesen sind generell 150 Gewinnlose, davon
100 Lose mit den Gewinn von 5€
25 Lose mit dem Gewinn von 20€
22 Lose mit dem Gewinn von 40€
3 Hauptlose mit dem Gewinn von 100€.
Wie viele Lose muss man mindestens kaufen, damit man mindestens 40€ mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% gewinnt?
Danke für eine konstruktive Lösung bzw. Lösungsansätze.
2 Antworten
Also, um mindestens 40 € zu gewinnen, musst du entweder mindestens 8 Gewinne von 5 € oder mindestens 2 Gewinne von 20 € oder mindestens 1 Gewinn von 40 € oder mindestens 1 Gewinn von 100 € haben. Jetzt musst du alle diese mindestens mit Oder verbunden, die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten soll größer 90 % sein und die entstehende Formel musst du dann nach n (Anzahl Lose) auflösen. Das wird sehr schwierig (bzw. ist unlösbar), da du ja unterschiedliche n bekommst. Empfehlung deshalb: Rechne jedes n einzel aus und nimm als Aufgabenergebnis eben das n, welches am größten ist.
Beispiel mit Gewinnen zu 5 €:
nach k auflösen (mit einem WTR/GTR). k entspricht dann der Anzahl Lose. Im Falle des 5 €-Gewinns muss k größer oder gleich 8 sein, (denn 8 * 5=40) ansonsten ist diese k keine Lösung der Aufgabe.
Das muss dann noch für alle anderen Gewinnmölglichkeiten berechnet werden und du nimmst dann als Löung einfach das k mit der größten Zahl.
Würde da jetzt “höchstens” stehen, dann müsste man folglich die kleinste Anzahl der einzelnen berechneten ‘n’ nehmen, oder?
Ja, dann sieht aber auch die Berechnungsformel anders aus, da steht dann X<=k statt >=k und du musst nicht meh nach 1 - umstellen.
Allerdings macht höchstens ja gar keinen Sinn, denn zu höchstens gehört auch 0 € Gewinn. UN damit ist die Angabe >= 90 % sinnlos.
Hallo,
ich komme auf 149 Lose.
Dabei bin ich über das Gegenereignis gegangen:
Die Wahrscheinlichkeit, weniger als 40 Euro zu gewinnen, muß auf unter 10 %=0,1 sinken.
Um weniger als 40 Euro zu gewinnen, darfst Du weder ein 100-Euro-Los noch ein 40-Euro-Los gewinnen.
Von den 20-Euro-Losen darfst Du höchstens eins gewinnen; in diesem Fall aber nur höchstens 3 von den 5-Euro-Losen.
Gewinnst Du kein 20-Euro-Los, darfst Du höchstens 7 5-Euro-Lose gewinnen, um nicht auf mindestens 40 Euro zu kommen.
So gibt es letztlich nur zwei Kombinationen, die zu höchstens 40 Euro Gewinn führen:
0x100 €/ 0x40 €/ 0x20 €/(0-7)x5€ oder:
0x100 €/ 0x40 €/ 1x20 €/ (0-3)x5 €.
Ich habe ein Programm für die kumulierte Binomialverteilung aufgerufen und ein wenig herumexperimentiert.
Die Wahrscheinlichkeit für ein 100-Euro-Los liegt bei 1/1000, dann folgen
p (40 )=1/120; p (20 €)=11/1500; p (5 €)=1/30
Nun rechnest Du die kumulierten Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Lose aus und multiplizierst sie in den beiden Kombinationen 0/0/0/(0-7) und 0/0/1/(0-3).
Die Produkte addierst Du anschließend.
Bei n=149 paßt es.
Bei den 20-Euro-Losen brauchst Du die Einzelwahrscheinlichkeiten für 0 und für 1 Los.
Am besten die Einzelergebnisse abspeichern, anschließend multiplizieren und die beiden Wahrscheinlichkeiten für die beiden Kombinationen addieren.
Herzliche Grüße,
Willy