f(t) = -0,01t³ +0,32t² -2,08t +6,84

f '(t) = -0,03t² +0,64t -2,08

f ''(t) = -0,06t +0,64

Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem t den Steigungswert des Graphen von f zuordnet.

In Aufgabenteil (a) muss also f '(t) = 1 vorausgesetzt werden.

f '(t) = 1

1 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -0,03t² +0,64t -3,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 308/100
0 = t² - 64/3 t + 308/3

t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 924/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 100/9 )
t = 32/3 +- 10/3

t1 = 22/3
t2 = 14

Interpretation: Um 7:20 Uhr und um 14:00 Uhr nimmt die Temperatur um 1 Grad pro Stunde zu.

Für Aufgabenteil (b) muss f '(t) = 0 gesetzt werden, denn man sucht die Extremstellen von f.

f '(t) = 0

0 = -0,03t² +0,64t -2,08
0 = -3/100 t² + 64/100 t - 208/100
0 = t² - 64/3 t + 208/3

t = 32/3 +- Wurzel( 1024/9 - 624/9 )
t = 32/3 +- Wurzel( 400/9 )
t = 32/3 +- 20/3

t1 = 4
t2 = 52/3

f ''(4) = -0,06 * 4 + 0,64 = 0,4 > 0
f ''(52/3) = -3/50 * 52/3 + 16/25 = -1,44 < 0

Folglich wird um 4:00 Uhr die Tiefsttemperatur und um 17:20 Uhr die Höchsttemperatur des Tages erreicht. Die Tiefsttemperatur wird aber auch um 24:00 Uhr erreicht.

Unter dem Begriff Wurzel versteht man üblicherweise die Quadratwurzel, also die 2. Wurzel. Das Ergebnis ist diejenige nichtnegative Zahl x, die mit sich selbst multipliziert wieder y ergibt, für die also x² = y gilt.

Beispiel: y = 9. Dann ist die Quadratwurzel x = 3, denn 3 * 3 = 9.

Ich sehe da keine Schwierigkeit :)

x(n) = 2^(n+1) = 2^n * 2^1 = 2 * 2^n

x(n+1) = 2 * 2^(n+1) = 2 * x(n)

1 hat nur den Teiler 1

2 hat die Teiler 1 und 2

3 hat die Teiler 1 und 3

4 hat die Teiler 1, 2 und 4

5 hat die Teiler 1 und 5

6 hat die Teiler 1, 2, 3 und 6

7 hat die Teiler 1 und 7

8 hat die Teiler 1, 2, 4 und 8

...

56 hat die Teiler 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28 und 56

57 hat die Teiler 1, 3, 19 und 57

58 hat die Teiler 1, 2, 29 und 58

59 hat die Teiler 1 und 59

...

Die Teiler der Zahlen dazwischen musst du nun selbst herausfinden. Dann kannst du dir deine Frage selbst beantworten.

Ich löse nicht deine Aufgaben, denn das sollst du ja selbst können. Es soll allerdings ein Beispiel als Hilfe dienen.

Wir betrachten die lineare Gleichung

3x - 4 = 5x + 2

Gesucht ist x :)

Um diese Gleichung gelöst zu bekommen, müssen wir mit äquivalenten Umformungsschritten zu einer Darstellung x = ... am Ende der Umformung kommen.

Daher werden wir zunächst auf beiden Seiten der Gleichung 5x subtrahieren.

3x - 5x - 4 = 5x - 5x + 2

-2x - 4 = 2

Somit steht das x jetzt nur noch auf der linken Seite der Gleichung.

Im Folgeschritt addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 4.

-2x - 4 + 4 = 2 + 4

-2x = 6

Nun steht das x allein auf der linken Seite der Gleichung, es muss nur noch die -2 vor dem x weg. Also teilen wir durch -2.

-2x : (-2) = 6 : (-2)

x = -3

Die Lösung der Gleichung ist also x = -3.

Anregung:

x²-y² = (x-y)(x+y)

x²-y² ist also genau dann durch 5 teilbar, wenn x-y oder x+y durch 5 teilbar ist.

Die Äquivalenzklassen der betrachteten Relationen ergeben sich dann als Gesamtheit der Äquivalenzklassen der nachfolgend definierten Äquivalenzrelationen R1 und R2.

Für (x,y) in Z² definiere

R1: x ~ y genau dann, wenn x-y ist durch 5 teilbar,

R2: x ~ y genau dann, wenn x+y ist durch 5 teilbar.

Definiere die Funktionsschar ft mit

ft(x) = 1/2 x³ - t x² + 1/2 t².

Dann sind die erste und zweite Ableitung gegeben durch

ft '(x) = 3/2 x² - 2t x,

ft ''(x) = 3x - 2t.

Extrempunkte: notwendiges Kriterium: ft '(x) = 0

0 = 3/2 x² - 2t x ... ausklammern von x

0 = x ( 3/2 x - 2t )

also ist x = 0 oder x = 4/3 t

Prüfen mit zweitem hinreichenden Kriterium:

ft ''(0) = 3 * 0 - 2t = -2t ist ungleich 0 für t ungleich 0.

Sei t = 0, dann prüfen wir mit dem ersten hinreichenden Kriterium:

f0 '(-1) = 3/2 * (-1)² = 3/2,

f0 '(1) = 3/2 * 1² = 3/2. Folglich hat f0 keine Extremstelle bei x = 0. Für jedes t ungleich 0 hat ft eine Extremstelle bei x = 0.

Wir prüfen die Stelle x = 4/3 t mit dem zweiten hinreichenden Kriterium:

ft ''(4/3 t) = 3 * 4/3 t - 2t = t ist ungleich 0 für t ungleich 0.

Für t = 0 ist 4/3 t = 4/3 * 0 = 0. Dass f0 bei x = 0 keine Extremstelle hat, haben wir bereits gesehen.

Zusammenfassung: Für t ungleich 0 hat ft die beiden Extremstellen x = 0 und x = 4/3 t.

Den Rest überlasse ich dir.

Definiere die Funktionen f und g durch

f(x) = ax³+bx²+cx+d,

g(x) = x²+x.

Umformen von g in die Scheitelform mithilfe der 1.binomischen Formel liefert

g(x) = x² + 2 * x * 1/2 + (1/2)² - (1/2)²

= x² + 2 * x * 1/2 + 1/4 - 1/4

= (x+1/2)² - 1/4

Dann ist der Scheitelpunkt von g bei S(-1/2 / -1/4).

f hat Wendepunkt bei W(0/1). Dann ist d = 1.

Die erste und die zweite Ableitung von f sind

f '(x) = 3ax² + 2bx + c,

f ''(x) = 6ax + 2b.

Da W(0/1) Wendepunkt und somit x = 0 Wendestelle ist, folgt b = 0.

Zwischenergebnis:

f(x) = ax³ + cx + 1

Da der Graph von f den Graphen von g in S(-1/2 / -1/4) berührt, muss gelten

f(-1/2) = -1/4 und

f '(-1/2) = g '(-1/2).

Wegen g '(x) = 2x+1 ist g '(-1/2) = 0, also

f '(-1/2) = 0.

Dass g '(-1/2) = 0 gilt, kann man auch damit begründen, dass S(-1/2 / -1/4) Scheitelpunkt der Parabel und folglich Extrempunkt von g ist. Dann muss die Steigung in S notwendigerweise 0 sein.

Die beiden Bedingungen f(-1/2) = -1/4 und f '(-1/2) = 0 müssen nun noch verwendet werden.

Aus f '(-1/2) = 0 ergibt sich wegen f '(x) = 3ax² + c

0 = 3a * (-1/2)² + c,

I: 0 = 3/4 a + c.

Aus f (-1/2) = -1/4 ergibt sich wegen f(x) = ax³ + cx + 1

-1/4 = a * (-1/2)³ + c * (-1/2) + 1,

-5/4 = -1/8 a - 1/2 c,

II: -5/2 = -1/4 a - c.

I + II liefert -5/2 = 1/2 a, also a = -5.

Damit ergibt sich c = 15/4.

f(x) = -5x³ + 15/4 x + 1

Der Kreis habe den Radius r. Zeichnet man nun in den Kreis ein Quadrat, dessen Eckpunkte alle auf dem Kreis liegen, dann ist die Diagonale des Quadrats so lang wie der Durchmesser des Kreises. Das Quadrat hat also die Diagonale d = 2r.

Halbiert man das Quadrat, dann entstehen zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke, deren Katheten jeweils a lang sind. Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras

a² + a² = (2r)²

2a² = 4r²

a² = 2r²

a = Wurzel_aus_2 * r

Das Quadrat hat also die Seitenlänge a = Wurzel_aus_2 * r

Wir berechnen nun die Flächeninhalte von Kreis und Quadrat.

A(Kreis) = pi * r²

A(Quadrat) = a² = 2r²

Differenz der Flächeninhalte bilden:

A = A(Kreis) - A(Quadrat) = pi * r² - 2 r² = r² ( pi - 2 )

Um den prozentualen Anteil des Verschnittes zu bestimmen, teilt man den Inhalt der Differenzfläche durch den Inhalt des Kreises:

p = A / A(Kreis) = r² ( pi - 2 ) / ( pi * r² )

Das r² kürzt sich raus.

p = ( pi - 2 ) / pi = 36,3 %

Basierend auf der Produktregel beim Ableiten findet man eine Methode, die man Partielle Integration nennt.

Produktregel: Für eine Funktion f und zwei Funktionen u und v mit f(x) = u(x) * v(x) gilt: f '(x) = ( u * v ) '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).

Integriert man auf beiden Seiten der Gleichung, dann erhält man

u(x) * v(x) = int u '(x) * v(x) dx + int u(x) * v '(x)

Wir bringen einen Summanden der rechten Seite auf die linke Seite.

int u(x) * v '(x) = u(x) * v(x) - int u '(x) * v(x) dx

Seien nun u(x) = x und v '(x) = e^x. Dann ergibt sich wegen u '(x) = 1 und v(x) = e^x:

int x * e^x dx = x * e^x - int 1 * e^x dx = x * e^x - e^x

Dann ist die Stammfunktion von g(x) = x * e^x gegeben durch

G(x) = x * e^x - e^x = e^x ( x - 1 ).

Mit Verhältnissen meint man Quotienten, also Brüche.

Bestimmte Sinus- und Kosinus-Werte sind in Tabellen festgehalten. Zum Beispiel gilt

sin(30°) = 1 / 2.

Der Sinus ist das Verhältnis der Länge der Gegenkathete des Winkels zur Länge der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

Das bedeutet also: Wenn in einem rechtwinkligen Dreieck ein Winkel 30° groß ist, dann beträgt das Längenverhältnis der Gegenkathete des Winkels zur Hypotenuse 1 zu 2. Die Hypotenuse ist also doppelt so lang wie die Gegenkathete des 30°-Winkels.

Es wird der gemeinsame Faktor ( x - 3 ) ausgeklammert.

(x-3)² - 2 x (x-3) + (x-3) =

(x-3) ( x - 3 - 2 x + 1 ) =

(x-3) (-x-2).

Man kann auch noch das Minus aus der zweiten Klammer rausziehen.

(x-3) (-x-2) = - (x-3) (x+2).

Gegeben sei die Funktion f mit

f(x) = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4.

Gesucht sind die Nullstellen von f.

f(x) = 0,

0 = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4 ... || * (-8)

0 = x³ - 6 x² + 32.

Es ist 4³ - 6 * 4² + 32 = 64 - 96 + 32 = 0, also

ist x = 4 eine Nullstelle von f.

Damit haben wir den ersten Linearfaktor gefunden: ( x - 4 ).

Der Term 

x³ - 6 x² + 32

soll nun so dargestellt werden, dass man ( x - 4 ) ausklammern kann.

Es ist x³ - 6 x² + 32 = x³ - 4 x² - 2 x² + 8 x - 8 x + 32 =

x² ( x - 4 ) - 2 x ( x - 4 ) - 8 ( x - 4 ) =

( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

f(x) = 0,

0 = -1/8 ( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

Ziel ist es jetzt nur noch eine Faktorisierung für 

( x² - 2 x - 8 )

zu finden.

Nach dem Satz von Vieta gilt

( x² - 2 x - 8 ) = ( x - 4 ) ( x + 2 ).

Also lässt sich die Funktion schreiben als

f(x) = -1/8 ( x - 4 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) =

-1/8 ( x - 4 )² ( x + 2).

Somit gibt es die einfache Nullstelle x = -2 und die doppelte Nullstelle x = 4.

Du meinst vermutlich die Länge der Strecke AC.

Gegeben seien die Punkte A(x1 | y1) und C(x2 | y2). Zeichnet man die beiden Punkte A und C in ein Koordinatensystem ein und verbindet diese durch eine gerade Linie, dann lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen, dessen Hypotenuse die Strecke AC ist.

Betrachte hierzu das Bild. Dann ist die eine Kathete der Unterschied der y-Werte und die andere Kathete der Unterschied der x-Werte.

Den Unterschied der x-Werte berechnet man als x1-x2,

und den Unterschied der y-Werte als y1-y2.

Mit dem Satz des Pythagoras erhalten wir dann für die Länge der Hypotenuse

AC² = (x1-x2)² + (y1-y2)²,

AC = Wurzel( (x1-x2)² + (y1-y2)² )

Der Grund dafür liegt darin, dass wir einfach zu faul sind, diesen vermeintlich einfachen Sachverhalt ordentlich mathematisch zu modellieren.

Preis des Balls: x

Preis des Schlägers: x+1

Gesamtpreis: x + x + 1 = 1,1

2x = 0,1

x = 0,05

Ehrlich gesagt: Ich bin auch hereingefallen :D

Würfel: V = a³

Mit a = 10cm ergibt sich V = (10cm)³ = 1000 cm³

Die Kugel hat das gleiche Volumen.

Kugel: V = 4/3 pi r³

1000 cm³ = 4/3 pi r³ .... | * 3/4

750 cm³ = pi r³ .... | : pi

750 / pi cm³ = r³ ... | dritte Wurzel

r = 6,2 cm

Oberflächen berechnen:

Würfel: O = 6 a² = 6 * (10 cm)² = 600 cm²

Kugel: O = 4 pi r² = 4 pi (6,2 cm)² = 483 cm²

Vergleich: (600 cm² - 483 cm²) / (600 cm²) = 19,5 %

Die Oberfläche der Kugel ist also um 19,5 % kleiner als die Oberfläche des Würfels.

.................

~ 64 ~

Wenn du ein Weg-Zeit-Diagramm gegeben hast, dann legst du für verschiedene Zeitpunkte Tangenten an den Graphen und bestimmst näherungsweise die Steigungen der Tangenten. Diese Steigungen sind dann die Momentangeschwindigkeiten.

Darstellung einer zweistelligen Zahl:

a = 10z + e,

dabei ist z die Zehnerziffer und e die Einerziffer der Zahl a.

Die Quersumme ist die Summe der Ziffern, also

z + e = 13.

Nun vertauschen wir die Zehner- und die Einerziffer, dann erhalten wir die Zahl

b = 10e + z.

Die Zahl b soll um 45 kleiner als die Zahl a sein:

b = a - 45,

10e + z = 10z + e - 45,

9e - 9z = -45,

e - z = -5.

Man erhält also das lineare Gleichungssystem

I.  e + z = 13
II. e - z = -5

I.+II.: 2e = 8,

e = 4,

Einsetzen von e = 4 in I.:

4 + z = 13,

z = 9,

Probe mit II.:

4 - 9 = -5,

-5 = -5

Antwort: Die gesuchte Zahl ist 94.

Ja, das kann sein.

Hierzu ein Beispiel: f(x) = x^5

Es ist

f '(x) = 5x^4,

f ''(x) = 20x³,

f '''(x) = 60x².

Weiter ist f ''(x) = 0 für x = 0 erfüllt.

Setzt man x = 0 in die dritte Ableitung ein, dann ergibt sich f '''(0) = 0. Die hinreichende Bedingung f '''(x) ungleich 0 ist also nicht erfüllt. Dennoch ist x = 0 eine Wendestelle, denn es ist

f ''(-1) = -20 < 0 und f ''(1) = 20 > 0. Folglich gibt es einen Vorzeichenwechsel in der Umgebung von x = 0 bei der zweiten Ableitung.

W(0 | 0) ist Wendepunkt des Graphen von f mit f(x) = x^5.

Gegeben sei die Funktion h mit h(x)=xln(x). Dann ist

f '(x) = x, g(x) = ln(x), f(x) = 1/2 x², g'(x) = 1/x.

Partielle Integration liefert

int( h(x) ) = int( f '(x) g(x) ) = f(x)g(x) - int( f(x) g'(x) ) =

1/2 x² ln(x) - int( 1/2 x² * 1/x ) =

1/2 x² ln(x) - int( 1/2 x ) =

1/2 x² ln(x) - 1/4 x² + c =

1/4 x² ( 2ln(x) -1 ) + c.