Frage von Invictu520, 101

x*lnx aufleiten?

Servus ich habe folgendes Problem: In einer anderen Frage habe ich schonmal gefragt wie man die oben genannte Fktn. aufleitet bzw. die stammfunktion bildet. Da hat man mir gesagt partielle integration aber da kommt bei mir glaub was falsches raus.

Int[x*ln(x)]

Für partielle Integration gilt ja Int[f'(x)g(x)dx]=f(x)g(x)-Int[f(x)*g'(x)]

Als f'(x) hab ich ln(x) genommen, d.h

f'(x)=ln(x) g'(x)=1 f(x)=1/x. g(x)= x

Damit ergibt sich Int[ln(x)x dx]=(1/x)x-Int[1/x1] = (1/x)x-ln(x)+c

Ich habs auch schon andersrum probiert also das f'(x) = x ist aber das machts komplizierter und ich kam auf ergebnisse wie x*(1/x)-(1/x) für das Integral.

Kurzer tipp wo mein fehler liegt reicht falls es tatsächlich richtig sein sollte auch gut aber es sieht für mich irgendewie falsch aus

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 101

int(x*ln(x))=int(f'(x)*g(x))
f'(x)=x        => f(x)=1/2x²
g(x)=ln x   => g'(x)=1/x
 
=> int(f'(x)*g(x))=f(x)*g(x)-int(f(x)*g'(x))
wenn ich da die entsprechenden Werte einsetze, bekomme ich das hier  raus:
int(x*ln(x))=1/2x²(ln(x)-1/2)

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe, 78

Gegeben sei die Funktion h mit h(x)=xln(x). Dann ist

f '(x) = x, g(x) = ln(x), f(x) = 1/2 x², g'(x) = 1/x.

Partielle Integration liefert

int( h(x) ) = int( f '(x) g(x) ) = f(x)g(x) - int( f(x) g'(x) ) =

1/2 x² ln(x) - int( 1/2 x² * 1/x ) =

1/2 x² ln(x) - int( 1/2 x ) =

1/2 x² ln(x) - 1/4 x² + c =

1/4 x² ( 2ln(x) -1 ) + c.

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