Frage von ProMaNu, 58

Das Integral e^x*sin(x)?

wie löst man dieses Integral? Wenn man dieses über die Partielle Integration löst dann steht im "hinteren" Integral e^x * cos(x) dx, sprich wieder ein Produkt. Wenn man dieses wieder Partiel Integriert dann e^x* sin(x) dx

Sprich es steht jedes mal ein Produkt. Wie löst man dann dieses? Ich hab gelernt das dort niemals ein Produkt stehen darf -.-

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 32

Hallo,

da hast Du etwas Falsches gelernt.

Der Trick bei der Integration trigonometrischer Funktionen ist, daß sie zyklisch wieder auf sich selbst zurückführen.

Du setzt f(x)=e^x und g'(x)=sin(x).

Dann ist f'(x) auch e^x und g(x)=-cos(x).

Partielle Integration:

Int(e^x*sin(x))=-cos(x)*e^x+Int(e^x*cos(x))

Das Restintegral noch einmal partiell integrieren:

Int(e^x*sin(x))=-e^x*cos(x)+e^x*sin(x)-Int(e^x*sin(x))

Nun hast Du ein Restintegral, das gleich dem ursprünglichen Integral ist, Du kannst beide zusammenfassen:

2Int(e^x*sin(x)=e^x*sin(x)-e^x*cos(x) (Durch 2 teilen und e^x ausklammern)

Int(e^x*sin(x)=0,5e^x*(sin(x)-cos(x))+C

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von ProMaNu ,

Danke!

könnte man dies pauschalisieren zu:

bei trigonometrischen Integralen so bald ein e^x oder ein x² dabei ist muss man eine doppelt partielle Integration durch führen

Während bei bei einem normalen x eine normale partielle Integration reicht?

Bei nicht trigonometrischen Funktionen ist dies ja so? Wenn man Produkt hinten nochmal hat, dass man diese nochmal Partiell integriert?

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo, 

ich fürchte, beim Integrieren kann man nicht alles nach Schema F lösen. Manchmal gehört auch ein wenig Herumprobieren oder der eine oder andere Geistesblitz dazu.

Wenn aber trigonometrische Funktionen im Spiel sind, kannst Du davon ausgehen, daß Du irgendwann wieder auf ein Restintegral stößt, das dem ursprünglichen gleich oder zumindest so ähnlich ist, daß man beide zusammenfassen kann.

Wenn Du eine e-Funktion hast, nutzt Du natürlich die Tatsache aus, daß e^x seine eigene Ableitung bzw. sein eigenes Integral ist.

Beim Integrieren hilft allgemein Erfahrung. Weil mir ähnliche Aufgaben wie Deine bereits begegnet sind, mußte ich nicht lange darüber nachdenken, wie die Geschichte anzugehen ist.

Willy

Kommentar von ProMaNu ,

Das Versuche ich auch um dort eine gewisse routine rein zu bringen.

Allerdings fällt es mir schwer zu wissen bei trigonometrische Funktionen ob ich nur eine Partielle Integration oder gar eine doppelte machen muss. Dafür gibts wahrscheinlich keine Tipps oder Tricks sondern nur durch Erfahrung? :-/

Kommentar von Willy1729 ,

Naja, Du hast ja gesehen, daß ich solange partiell integriert habe, bis das Ursprungsintegral wieder auftauchte. Manchmal muß man auch ein drittes Mal integrieren. Werden die Restintegrale aber von Mal zu Mal komplizierter, bist Du wahrscheinlich auf dem falschen Dampfer und Du mußt einfach die andere Funktion als Ableitung interpretieren.

Kommentar von ProMaNu ,

ich weiß vieles kommt über die Erfahrung.Aber du sagtest
partiell integriert habe, bis das Ursprungsintegral wieder auftauchte.

Also maximal bis zu diesem Schritt bei Trigonometrische Funktionen? Aber dies wird ja eh nur bei Triggo + E-Funktionen passieren.

Kommentar von Willy1729 ,

Sobald das Ursprungsintegral wieder auftaucht, kannst Du beide zusammenfassen und Du hast kein Integral mehr auf der anderen Seite der Gleichung. Wieso solltest Du danach auch noch weiter integrieren? In anderen Fällen bekommst Du ein Restintegral, das Du auflösen kannst. Das ist ganz unterschiedlich. Manchmal muß man auch ein wenig probieren. Nicht jede Methode führt zum Ziel. Du mußt einfach mal unterschiedliche Integrale berechnen. Zur Kontrolle kannst Du ja einen Online-Integralrechner benutzen.

Herzliche Grüße,

Willy

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