Aus lageweile und Spaß an der Mathematik stelle ich mir die Frage wie man
y^(y'^(y''^(y'''^(...)))) = f(x)
lösen könnte?
Da das ODE so etwas ungenau ist formuliere ich das ganze einmal aus:
Ein paar Observationen die direkt ins Auge fallen sind,
- dass y in mindestens einen Intervall unendlich Differenzierbar sein muss, ohne je 0 zu ergeben (0 hoch 0 ist schließlich nicht einheitlich Definiert),
- dass k immer eine natürliche Zahl oder 0 ist,
- dass die meisten numerischen Lösungsverfahren hier versagen würden, da das ODE inhomogen, nicht-linear, nicht-unabhängig und unendlicher Ordnung ist und
- dass das ODE nicht trivial zu lösen ist.
Ich bin gespannt, welche Lösungen ihr findet (ihr könnt gerne auch nur Lösungen für spezielle f(x) nennen). Numerische Verfahren sind auch ok, auch wenn ich keines kenne was hier funktionieren würde.
Ich selbst kann es nur für bestimmte f(x) lösen, daher würde mich eine allgemeine Lösung sehr interessieren.
Wenn jemand an TeX-Code interessiert ist:
Es gibt zwei Funktionen $y$ und $f$, welche beide Abhängig von $x$ sind. Sagen wir, dass $y^{\left( n \right)}\left( x \right)$ die $n$.te Ableitung von $y$ ist aka $\frac{\operatorname{d}^{n}y\left( x \right)}{\operatorname{d}x^{n}} = y^{\left( n \right)}\left( x \right)$ und definieren wir einen Operator $\gimel$ (gimel) mit $$\operatorname{^{\alpha}\gimel}\limits_{k ~=~ a}^{b}\left[ c_{k} \right] \equiv c_{a} ~\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{\alpha \text{ mal}}~ \left( c_{a + 1} ~\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{\alpha \text{ mal}}~\left( ~\underbrace{\dots}_{b -a -4 \text{ mal}}~ ~\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{\alpha \text{ mal}}~ \left( a_{b} ~\underbrace{\uparrow\cdots\uparrow}_{\alpha \text{ mal}}~ a_{b} \right) \right) \right)$$ zum Verallgemeinern der Summenreihen-Entwicklung und Produktriehen-Entwicklung mit Hilfe einer der Pfeilschreibweisen ($a \uparrow b = a + b$, $a \uparrow\uparrow b = a \cdot b$, $a \uparrow\uparrow\uparrow b = a^{b}$, ...).
Damit gilt z.B. $\operatorname{^{1}\gimel}\limits_{k ~=~ a}^{b}\left[ c_{k} \right] \equiv \sum\limits_{k ~=~ a}^{b}\left[ c_{k} \right]$ und $\operatorname{^{2}\gimel}\limits_{k ~=~ a}^{b}\left[ c_{k} \right] \equiv \prod\limits_{k ~=~ a}^{b}\left[ c_{k} \right]$.
Damit können wir das ODE wiefolgt schrieben:
$$
\begin{align*}
\operatorname{^{3}\gimel}\limits_{k ~=~ 0}^{\infty}\left[ y^{\left( k \right)}\left( x \right) \right] \equiv f\left( x \right)\\
\end{align*}
$$
Löse das ODE!
