uneigentliches Integral sin und cos-Funktion- gibt es da Unterschiede?
Also die Sinusfunktion ist ja punktsymmetrisch und wenn man z.B. von -1 bis 1 integriert, dann bekommt man zwei Teilflächen mit entgegengesetztem Vorzeichen, die sich genau aufheben. Bei der Cos-Funktion liegt ja Achsensymmetrie vor und bei dem gleichen Beispiel würde man zwei Teilflächen mit dem gleichen Vorzeichen bekommen...
wie sieht es denn jetzt aus bei einem uneigentlichen Integral von -unendlich bis unendlich? Kann man da sagen, sin wird zu Null und cos nicht?
Weil in einem Beispiel wurde das Integral (-unendlich bis unendlich) (e^(i(2pift))dt einfach zu dem Integral cos(2pift) vereinfacht
5 Antworten
knapp gesagt:
eine funktion ist gerade wenn f(x)=f(-x) gilt.
und ungerade wenn f(-x)=-f(x) gilt.
integral von -a nach a von f(x) ist
0, wenn f ungerade.
=2*integral von 0 bis a von f(x), wenn f(x) gerade.
gilt immer.
und in deinem beispiel ist, wie du leicht prüfen kannst, sin(x) ungerade und cos(x) gerade.
anschaulich ist eine funktion ungerade wenn sie punktsymmetrisch zum ursprung ist.
und gerade wenn sie achsensymmetrisch ist.
grundsätzlich kannst du den grenzwert mit den grenzen -unendlich bis unendlich nciht bestimmen.
betrachten wir bspw. mal die sinusfunktion.
du kannst das integral in den grenzen -a bis a betrachten.
ist es 0.
kannst auch die grenzen links und rechts um 2pi erweitern ohne dass sich was ändert:
(-a-2Pi,a+2Pi)
und immer wieder 2pi addieren, das integral wird immer 0 sein.
und doch erreichst du so irgendwann (-unendlich, unendlich).
du kannst aber auch:
losstarten von (-2pi,pi). das integral ist 2.
auch hier kannst du wieder in 2pi shcritten links und rechts erweitern. immer wieder.
2 methoden, bei beiden hast du am ende die grenzen -unendlich und unendlich.
dennoch kommt beim einen 0 raus, beim anderen 2.
da das nciht sein kann, existiert grundsätzlich der grenzwert integral -unendlich bis +unendlich vin sinus nicht.
und cosinus ist in der hinsicht auch nicht besser, da kannst du jedes (-a,a) nehmen und mit 2pi ewig erweitern.
je nahc wahl von a komt da auch imer was anderes raus.
weder für sin noch cos existieren die grenzwerte.
Deine Überlegungen sind beide richtig.
Hier ein (hoffentlich weitgehend) formal richtiger Nachweis:
Das Integral für den Sinus schreibst du um zu:
∫[-∞ ; ∞] sin(x) dx= lim ∫[-n ; n] sin(x) dx
n->∞
=lim ( -cos(n) - (-)cos(-n) )
n->∞
=lim
n->∞ ( -cos(n) + cos(-n) )
Nun die Identität -cos(-x)=cos(x) nutzen:
=lim ( -cos(n) + cos(n) )
n->∞
=0
Eine ähnliche Vorgehensweise geht für das Cosinusintegral:
∫[-∞ ; ∞] cos(x) dx= lim ∫[-n ; n] cos(x) dx
n->∞
=lim ( sin(n) - sin(-n) )
n->∞
Nun die Identität sin(-x)=sin(x) nutzen:
=lim (sin(n) + sin(x)
n->∞
=lim ( 2*sin(n))
n->∞
Und das rechne mal aus: Der Sinus ist doch periodisch und hat, je nach n, unterschiedliche Funktionswerte, egal, wie groß n wird. Das Integral schwankt zwischen -2 und 2, nimmt aber keinen 'Endwert' an. Es divergiert also.
Also ich würd sagen dass
lim x->infinity (integral von -x bis x(sin(x)dx))
=
lim x->infinity (integral von -x bis 0(sin(x)dx)+integral von bis x(sin(x)dx))
=limx->infinity(0)=0
und
analog lim->infinity (integral von -x bis x(cos(x)dx))
=lim->infinity(2*integral von 0 bis x (cos(x)dx))
Wobei fraglich ist was das integral von 0 bis unendlich ergibt bei cosinus denn:nimmst du bspw. das integral von 0 bis pi undfügst da das integral vonpi bis 3pi hinzu, also einfach eine peride dazu, so ergibt das trotzdem nur das integral von 0 bis pi.
Demnach ergäbe 0 bis unendlich einfach integral von 0 bis pi.
Einfachil das integral über eine periode sowohl bei sinus als auch bei cosinus 0 ergibt.
Man kann aber auch dn 0 bis pi/2, 1,5 pi oder was ganz anderes betrachten.
Wenn man da unendlich viele perioden anfügt kommt man auch zum integral 0 bis unendlich.
Dieses problem hatten wir bei sinus nicht denn da "kürzte" sich das integral von 0 bis x rechts der y-achse mit dem entsprechenden teil links der x-achse weg.
Bei cosinus aber ist dem nicht so.
Je nachdem wie man das k bei integral 0 bis k plus unendlich viele perioden wählt, gäbe es da unendlich viele Lösungen.
Von daer würde ich mal behaupten, integral von -unendlich bis +unendlich ist bei cosinus einfahc nicht definiert weil aus irgendeinem grund dieser grenzwert nicht existiert.
Würde man wahrscheinlich auch beweisen können wenn man cosinus als Taylorreihe oder sowas schreibt und da grenzwertsätze benutzt.
Sind aber alles nur meine Vermutungen,. bisher nichts konkretes :-)
Integral [-unendlich, +unendlich] sin(x) dx =
lim x -> unendlich [ -cos(x) + cos(-x) ] = 0,
denn cos(x) = cos(-x)
Integral [-unendlich, +unendlich] cos(x) dx =
lim x -> unendlich [ sin(x) - sin(-x) ] =
lim x -> unendlich [ 2 * sin(x) ]
ist undefiniert, denn der Grenzwert variiert zwischen -2 und +2.
MERKE: Du darfst nicht über die Nullstellen hinweg integrieren.
Die Summe der Flächen über der x-Achse und unter der x-Achse sind die Beträge der Flächen,weil ja die Flächen unter der x-Achse negativ sind.
Wird nun x gegen unendlich,so ist auch die Summe aller Flächen (Beträge) unendlich groß.
"Uneigentliche Integrale"
Integrale mit unendlichen Grenzen und Integrale,die im Integrationsintervall unendlich werden,werden als uneigentliche Integrale bezwichnet
Integral(f(x)*dx=lim Integral (f(x)*dx
mit xu= Zahlenwert und xo gege nunendlich
siehe im Mathe-Formelbuch Integrale ,Allgemeines "uneigentliche Integrale"
MERKE: Du darfst nicht über die Nullstellen hinweg integrieren.
??????????
Wenn es um Integration und nicht um Bestimmung von Flächeninhalten geht macht das keine Probleme!