Frage von Susanne1999, 114

Hilfe bei Polynomdivision mit Rest?

Hallo ihr Lieben! Ich sitze vor meiner Mathehausaufgabe und habe leider keine Ahnung wie ich weiter machen soll. Wir sollen von dieser Aufgabe die Nullstellen berechnen: -1/8x³+3/4x²-4

Unser Mathelehrer meinte, dass das mit Polynomdivision zu lösen ist. Die erste Nullstelle ist 4! Das habe ich durch Ausprobieren herausgefunden, da wir momentan noch nicht weit genug im Stoff sind, um anders darauf zu kommen. Und ich dachte danach muss ich die Augabe durch (x+4) teilen, aber bei mir bleibt immer ein Rest übrig, sodass ich danach nicht die Mitternachtsformel anwenden kann... Wäre ganz lieb, wenn mir jemand helfen könnte.

Danke schon mal im Voraus!

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 52

Es wird beim Ausprobieren bleiben bei Funktionen 3. Grades oder zu ganz anderen Lösungswegen!

Um sich die Polynomdivision bequem zu machen, ist der erste Akt:
weg mit der Vorzahl von x³.
Das bedeutet: Multiplikation mit (-8). Das kann man auch, denn rechts steht Null.

x³ - 6x² + 32 = 0

Wenn man mit den kleinen Lösungen anfängt, landet man als erstes bei -2 als Lösung. Das ergibt den Linearfaktor: (x + 2)

Wie gesagt: bequem und übersichtlich soll es sein, deshalb lasse ich Platz für die fehlende Potenz, die kommt nämlich automatisch!

  (x³ -  6x²          + 32) : (x + 2) = x² - 8x + 16
-(x³ + 2x²)
  ___________
       -8x² 
    -(-8x² - 16x)
     _______________
                16x + 32
              -(16x +32)
              _________
                 0

Dass (x² - 8x + 16) = (x - 4)²   ist, sieht man sofort.

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Daher x₁    = -2
           x₂‚₃ =  4  

Einen Rest hat es bei der Polynomdivision nicht gegeben.
Sonst hätte man auch ganz schlechte Karten!        

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 18

Gegeben sei die Funktion f mit

f(x) = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4.

Gesucht sind die Nullstellen von f.

f(x) = 0,

0 = -1/8 x³ + 3/4 x² - 4 ... || * (-8)

0 = x³ - 6 x² + 32.

Es ist 4³ - 6 * 4² + 32 = 64 - 96 + 32 = 0, also

ist x = 4 eine Nullstelle von f.

Damit haben wir den ersten Linearfaktor gefunden: ( x - 4 ).

Der Term 

x³ - 6 x² + 32

soll nun so dargestellt werden, dass man ( x - 4 ) ausklammern kann.

Es ist x³ - 6 x² + 32 = x³ - 4 x² - 2 x² + 8 x - 8 x + 32 =

x² ( x - 4 ) - 2 x ( x - 4 ) - 8 ( x - 4 ) =

( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

f(x) = 0,

0 = -1/8 ( x² - 2 x - 8 ) ( x - 4 ).

Ziel ist es jetzt nur noch eine Faktorisierung für 

( x² - 2 x - 8 )

zu finden.

Nach dem Satz von Vieta gilt

( x² - 2 x - 8 ) = ( x - 4 ) ( x + 2 ).

Also lässt sich die Funktion schreiben als

f(x) = -1/8 ( x - 4 ) ( x + 2 ) ( x - 4 ) =

-1/8 ( x - 4 )² ( x + 2).

Somit gibt es die einfache Nullstelle x = -2 und die doppelte Nullstelle x = 4.

Antwort
von TheKoko, 55

Du musst durch die Nullstelle Teilen, d.h. wenn die Nullstelle bei x=+4 ist, teilst du durch x-4. Das Vorzeichen ändert sich also. 
PS: Ich studiere Wirtschaftsingenieurwesen und selbst da mussten wir die Nullstellen noch raten.

Kommentar von Susanne1999 ,

Danke! Hab's raus :)
PS: Na da freu ich mich ja jetzt schon ;)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 40

Zunächst einmal möchte ich dich mit Webseiten versorgen -->

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

und

https://www.youtube.com/results?search\_query=polynomdivision

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Die eine Nullstelle ist x = 4 deshalb findet die Polynomdivision mit dem Linearfaktor (x - 4) statt.

(- (1 / 8) * x ^ 3 + (3 / 4) * x ^ 2 - 4) / (x - 4) = - (1 / 8) * x ^ 2 + (1 / 4) * x + 1

Dieses Endergebnis musst du herausbekommen.

Leider eignet sich der GF-Editor nicht für Mathematik, weshalb ich dir die Rechnung nicht im Detail vorführen werde, sorry.

Vielleicht schafft es jemand anderes die Rechnung übersichtlich und verständlich genug per GF-Editor zu vermitteln.

Von - (1 / 8) * x ^ 2 + (1 / 4) * x + 1 müssen jetzt weitere Nullstellen gefunden werden.

- (1 / 8) * x ^ 2 + (1 / 4) * x + 1 = 0 | : - (1 / 8)

x ^ 2 - 2 * x - 8 = 0


Die pq-Formel wird auf die Form x ^ 2 + p * x + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->


x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -2

q = -8

p / 2 = -1

(p / 2) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1

x _ 1, 2 = - (-1) - / + √( 1 – (-8) )

x _ 1, 2 = 1 - / + √( 9 )

x _ 1, 2 = 1 - / + 3

x _ 1 = -2

x _ 2 = 4


Hier holen wir noch die Nullstelle hinzu die wir schon kannten -->

x _ 3 = 4

x = 4 ist eine sogenannte doppelte Nullstelle.

x = -2 hätte man durch eine Wertetabelle ebenfalls leicht finden können.

Dein Polynom - (1 / 8) * x ^ 3 + (3 / 4) * x ^ 2 - 4 lässt sich nun durch die Linearfaktoren darstellen -->

- (1 / 8) * x ^ 3 + (3 / 4) * x ^ 2 - 4 = - (1 / 8) * (x + 2) * (x - 4) * (x - 4)

Die - (1 / 8) kommt wieder hinzu, weil wir durch diesen Faktor oben dividiert hatten.

Das kann man noch vereinfachen -->

- (1 / 8) * x ^ 3 + (3 / 4) * x ^ 2 - 4 = - (1 / 8) * (x + 2) * (x - 4) ^ 2

Antwort
von Blvck, 38

Du musst durch (x-4) teilen. Immer das Vorzeichen umdrehen.

Bei x+4 = 0 wäre die Nullstelle bei x = -4.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 22

Bildungsgesetz für ganzrationale Funktionen.

y=f(x)= (x - x1) * (x-x2) * (x-x3)* a

x1 und x2 und x3 sind die Nullstellen der Funktion,hier Kubische Funktion.

Dann wird das Ganze noch mit den Faktor a multipliziert.

Man kann auch x2=0 und x3=0 wählen,dann gibt es nur 1 Nullstelle

Antwort
von elenano, 19

Wenn die Nullstelle x1 = +4 ist musst du durch (x-4) dividieren.

(-1/8x³ + 3/4x² -4) : (x-4) = -1/8x² + 1/4x + 1

MNF: x2 = -2 und x3 = 4

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