Frage von Suit45, 105

Was ist Ziel der polynomdivision?

Moin. Rein aus Interesse weil es bei mir schon länger her ist. Was ist das Ziel der polynomdivision? Was berechnet man da?

War das nicht irgendwas mit nullstellen? Die kann man doch auch mit der mitternachtsformel berechnen oder

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 71

Hallo,

wenn Du eine Funktion 3. Grades hast in der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d,

dann kannst Du die Mitternachts- oder die pq-Formel nicht anwenden. Das geht nur bei Funktionen zweiten Grades. 

Hier helfen Dir entweder die Cardanischen Formeln weiter, die echt knifflig sind und die Du in der Schule kaum zu Gesicht bekommst, oder die übliche Methode: eine Nullstelle raten, dann die Funktionsgleichung durch den Term
(x-erratene Nullstelle) teilen. So bekommst Du als Ergebnis eine Funktion zweiten Grades, bei der Du die beiden restlichen Nullstellen auch als Schüler leicht bestimmen kannst.

Wenn sich die Nullstelle nicht erraten läßt, helfen entweder eine Wertetabelle oder ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren, das recht einfach anzuwenden ist, weiter.

Du kannst aber auch Deinen Taschenrechner rödeln lassen. Wozu hast Du ihn schließlich?

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von kreisfoermig, 48

Was meinst du mit Ziel? Ziel innerhalb der Berechnung oder die Anwendung solcher? Zum ersten: einfach Umformung und andere Darstellungen einer vorher bestimmen Form zu finden. Zum zweiten: mithilfe der durch Polynomdivision gelieferten Darstellungen von rationalen Ausdrücken lassen sich Probleme in der Algebra und AnaIysis leichter lösen, wie Integration, Laplacetransformationen (bes. wichtig, wenn du Ingenieur werden willst) oder die Berechnung von Konvergenzradien, die Untersuchung von komplzierten Ausdrücken in Algebren, usw.

Zum Bsp. man weiß ja was 1/(1–x) als formale Potenzreihe ist, aber nicht auf den ersten Blick was 1/Q(x) für ein zufälliges Polynom. Polynomdivision garantiert, dass ich alles reduzieren kann aus linearen Kombinationen aus Brüchen mit jeweils irreduziblen Polynomen als Nenner, im Falle eines algebraisch vollständigen Körper heißt dies: alle Brüche können auf linearen Summen aus Brüchen der Form A/(1–x/B), für welches wir schon formale Reihen kennen, was uns die formale Potenzreihe eines jeden Bruchs ausrechnen lässt.

Antwort
von Roderic, 27

Das Ziel einer Polynomdivision ist, ein Polynom in ein Produkt von irreduzible Linearfaktoren umzuwandeln.

Dann kann man nämlich die Nullstellen direkt ablesen.

Antwort
von corsleontis, 41

Die Polynomdivision ist eine Methode zur  Vereinfachung einer Funktion höhreren Grades (ab Potenz 3) zu/bis zu einer Funktionen zweiten Grades. Anschließend dann die Variablen/Veränderlichen (meist x) ausrechnen zu können. 

Antwort
von Schachpapa, 41

Das verschwindet langsam aber sicher aus den Lehrplänen der Schulen. Moderne Taschenrechner können die Nullstellen eines Polynoms ratz fatz ausrechnen. 

Das derzeitige Verfahren, sich alle Nullstellen mit dem GTR ausgeben zu lassen, um dann mit der ganzzahligen Lösung eine Polynomdivision durchzuführen grenzt an Beschäftigungstherapie.

Kommentar von Wechselfreund ,

Moderne Taschenrechner können multiplizieren. Das derzeitige Verfahren schriftliche Multiplikation zu lernen grenzt an Beschäftigungstherapie?!

Kommentar von Schachpapa ,

Der Vergleich passt fast aber nicht ganz.

Spätestens ab Einführung von TR in den Unterricht führt niemand mehr eine schriftliche Multiplikation durch. Ich wage zu behaupten, dass die Hälfte unserer Abiturienten die schriftliche Multiplikation zweier Zahlen der Form DD,DD (also je 2 Vor- und Nachkommastellen) nicht fehlerfrei hinbekommt, wenn sie es vorher nicht nochmal geübt haben. Auch die Überschlagsrechnung im Kopf nicht. Das kann man bejammern oder sich damit abfinden.

Zur Polynomdivision: Das klassische Verfahren ist/war: eine Nullstelle durch Probieren der Teller des absoluten Gliedes ermitteln, mit dieser NS eine Polynom Division durchführen, die beiden weiteren mit pq-Formel. Ok, damit habe ich kein Problem. Mit schülerfreundlichen sprich ganzzahligen Nullstellen kann man das sogar ganz ohne TR im hilfsmittelfreien Teil einer Prüfung verlangen.

Es ist aber völlig albern, mit GTR oder CAS per Solve alle NS zu bestimmen, von diesen dann eine für die P-Division zu benutzen, um dann mit pq-Formel das Ergebnis zu bestätigen, das man schon vor der P-Division hatte.

Das wäre so, als wenn man die oben erwähnte schriftliche Multiplikation zuerst mit dem TR und dann nochmal schriftlich durchführen müsste.

Antwort
von Schachpapa, 30

Mir ist noch eine Anwendung eingefallen:

Gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x) = P(x)/Q(x) bei denen P(x) und Q(x) jeweils Polynome sind und der Grad des Zählerpolynoms größer als der des Nennerpolynoms ist.

Hier kann man nach einer Polynomdivision mit Rest bestimmen, welcher Funktion sich f(x) asymptotisch annähert.

Antwort
von cleverino, 36

Die Mitternachtsformel gilt nur für quadratische Funktionen (ebenso wie die pq Formel). Bei Funktionen höheren Grades brauchst du andere Verfahren. Eines davon ist die Polynomdivision.

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