Was ist Ziel der polynomdivision?
Moin. Rein aus Interesse weil es bei mir schon länger her ist. Was ist das Ziel der polynomdivision? Was berechnet man da?
War das nicht irgendwas mit nullstellen? Die kann man doch auch mit der mitternachtsformel berechnen oder
7 Antworten
Hallo,
wenn Du eine Funktion 3. Grades hast in der Form f(x)=ax³+bx²+cx+d,
dann kannst Du die Mitternachts- oder die pq-Formel nicht anwenden. Das geht nur bei Funktionen zweiten Grades.
Hier helfen Dir entweder die Cardanischen Formeln weiter, die echt knifflig sind und die Du in der Schule kaum zu Gesicht bekommst, oder die übliche Methode: eine Nullstelle raten, dann die Funktionsgleichung durch den Term
(x-erratene Nullstelle) teilen. So bekommst Du als Ergebnis eine Funktion zweiten Grades, bei der Du die beiden restlichen Nullstellen auch als Schüler leicht bestimmen kannst.
Wenn sich die Nullstelle nicht erraten läßt, helfen entweder eine Wertetabelle oder ein Näherungsverfahren wie das Newton-Verfahren, das recht einfach anzuwenden ist, weiter.
Du kannst aber auch Deinen Taschenrechner rödeln lassen. Wozu hast Du ihn schließlich?
Herzliche Grüße,
Willy
Was meinst du mit Ziel? Ziel innerhalb der Berechnung oder die Anwendung solcher? Zum ersten: einfach Umformung und andere Darstellungen einer vorher bestimmen Form zu finden. Zum zweiten: mithilfe der durch Polynomdivision gelieferten Darstellungen von rationalen Ausdrücken lassen sich Probleme in der Algebra und AnaIysis leichter lösen, wie Integration, Laplacetransformationen (bes. wichtig, wenn du Ingenieur werden willst) oder die Berechnung von Konvergenzradien, die Untersuchung von komplzierten Ausdrücken in Algebren, usw.
Zum Bsp. man weiß ja was 1/(1–x) als formale Potenzreihe ist, aber nicht auf den ersten Blick was 1/Q(x) für ein zufälliges Polynom. Polynomdivision garantiert, dass ich alles reduzieren kann aus linearen Kombinationen aus Brüchen mit jeweils irreduziblen Polynomen als Nenner, im Falle eines algebraisch vollständigen Körper heißt dies: alle Brüche können auf linearen Summen aus Brüchen der Form A/(1–x/B), für welches wir schon formale Reihen kennen, was uns die formale Potenzreihe eines jeden Bruchs ausrechnen lässt.
Mir ist noch eine Anwendung eingefallen:
Gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x) = P(x)/Q(x) bei denen P(x) und Q(x) jeweils Polynome sind und der Grad des Zählerpolynoms größer als der des Nennerpolynoms ist.
Hier kann man nach einer Polynomdivision mit Rest bestimmen, welcher Funktion sich f(x) asymptotisch annähert.
Die Polynomdivision ist eine Methode zur Vereinfachung einer Funktion höhreren Grades (ab Potenz 3) zu/bis zu einer Funktionen zweiten Grades. Anschließend dann die Variablen/Veränderlichen (meist x) ausrechnen zu können.
Die Mitternachtsformel gilt nur für quadratische Funktionen (ebenso wie die pq Formel). Bei Funktionen höheren Grades brauchst du andere Verfahren. Eines davon ist die Polynomdivision.