funktionsschar extrempunkte und wendepunkte?
wir haben in mathe ein übungsblatt gekriegt für die matheklausur. nun komm ich bei der einen aufgab nicht weiter kann mir jemand helfen ?. also die fun ktion lautet: ft(x)=1/2x^3-tx^2+1/2t^2
die zweite ableitung habe ich schon abgeleitet aber mehr weiss ich auch nicht
2 Antworten
Definiere die Funktionsschar ft mit
ft(x) = 1/2 x³ - t x² + 1/2 t².
Dann sind die erste und zweite Ableitung gegeben durch
ft '(x) = 3/2 x² - 2t x,
ft ''(x) = 3x - 2t.
Extrempunkte: notwendiges Kriterium: ft '(x) = 0
0 = 3/2 x² - 2t x ... ausklammern von x
0 = x ( 3/2 x - 2t )
also ist x = 0 oder x = 4/3 t
Prüfen mit zweitem hinreichenden Kriterium:
ft ''(0) = 3 * 0 - 2t = -2t ist ungleich 0 für t ungleich 0.
Sei t = 0, dann prüfen wir mit dem ersten hinreichenden Kriterium:
f0 '(-1) = 3/2 * (-1)² = 3/2,
f0 '(1) = 3/2 * 1² = 3/2. Folglich hat f0 keine Extremstelle bei x = 0. Für jedes t ungleich 0 hat ft eine Extremstelle bei x = 0.
Wir prüfen die Stelle x = 4/3 t mit dem zweiten hinreichenden Kriterium:
ft ''(4/3 t) = 3 * 4/3 t - 2t = t ist ungleich 0 für t ungleich 0.
Für t = 0 ist 4/3 t = 4/3 * 0 = 0. Dass f0 bei x = 0 keine Extremstelle hat, haben wir bereits gesehen.
Zusammenfassung: Für t ungleich 0 hat ft die beiden Extremstellen x = 0 und x = 4/3 t.
Den Rest überlasse ich dir.
Dann schreib erste und zweit Ableitung mal hier rein.
Was findet man mit den Ableitungen heraus?