Wendepunkt und Extrempunkt an gleicher Stelle?
Hallo, ich soll von der Funktion f(x) = (1/6)x^3 - x^2 + 2x die Schnittpunkte, Extrempunkte und Wendepunkte berechnen. Aber jedesmal, wenn ich die zweite und erste Ableitung ausrechne, kommt x=2 heraus. Meines Wissens nach, kann es am selben Punkt keinen Wendepunkt und Extrempunkt geben. Ich habe die Funktion mal bei einem Funktionsplotter eingegeben und da wurde an der Stelle 2 nur ein Sattelpunkt angezeigt. Habe ich vielleicht falsch abgeleitet oder gerechnet?
6 Antworten
Richtig, die erste Ableitung hat an der Stelle x=2 eine doppelte Nullstelle und die zweite Ableitung eine einfache.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d/dx (1/6)x^3 - x^2 2x = 0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=d²/dx² (1/6)x^3 - x^2 + 2x = 0
(Du musst noch das +-Zeichen ergänzen)
Schaut man sich die Funktion an, sieht man, dass sich dort ein Sattelpunkt befindet. In einem Sattelpunkt ist die Steigung 0 und der Drift ändert sich.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x) = (1/6)x^3 - x^2 + 2x
Ich rate dir, bei solchen Analysen, besonders wenn du übst, immer erst dir die Funktionen zur Visualisierung zu plotten.
Bei einem Extrempunkt muss neben f'(x) = 0 auch f''(x) ≠ 0 gelten, und das ist hier nicht der Fall.
Es ist ein Sattelpunkt, da f'(x) = 0, f''(x) = 0 und f'''(x) ≠ 0
Der Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der zusätzlichen Eigenschaft:
die Tangente hat die Steigung 0.
f '(x) = 0 und
f ''(x) = 0
Wenn f'(2)=0 ist, heißt das nur, dass an der Stelle 2 ein Extrempunkt sein könnte. Du suchst nun die erste Ableitung , die an der Stelle 2 nicht 0 ergibt. Ist diese Ableitungsnum.mer gerade , dann ist es ein Extrempunkt, bei dir ist das nicht der Fall, also ist es kein Extrempunkt.
Die 1. Ableitung ist die Steigung und die 2. Ableitung die Beugung. Wenn beides an der selben x-Stelle Null wird, hast du einen Terrassenpunkt, da es dort keine Steigung und keine Beugung gibt.
An einer Extremstelle muss die zweite Ableitung nicht null sein! Nur: wenn sie ungleich null ist (zusammen mit f´(xe)=0), dann hat f bei xe auf jeden Fall eine relative Extremstelle.
Standardgegenbeispiel: g(x) = x^4.