Welche Ableitung wann benutzen?
Hey ,
Ich schreibe Morgen eine Mathe Klausur über die Berechnung von Extrempunkten und Wendepunkte , ich bin mir jedoch noch etwas unsicher.
Also ist es richtig das man die
- Ableitung - Zur Berechnung der Nullstellen verwendet .
- Ableitung - Um ein Vorzeichenwechsel zu überprüfen ?
Und wäre lieb wenn mir jemand Erklären könnte wann das Horner Schema anzuwenden ist , also woran ich es an einer Funktion erkennen kann.
Danke im Voraus
6 Antworten
Hallo! :)
Vorab: Vom Horner Schema habe ich leider noch nie gehört - aber zu dem anderen Problem kann ich was sagen:
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Um Nullstellen zu berechnen benötigst du gar keine Ableitung! Einfach die ganz normale Funktion gleich null setzen und nach x auflösen.
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Die erste Ableitung dient dem Berechnen von Extremstellen - und zwar wirklich Stellen (also nur x-Koordinaten), nicht Punkte. Um den genauen Punkt zu bekommen, muss man dann diese Koordinaten in die Ursprungsgleichung einsetzen.
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Die zweite Ableitung ist dafür da, Wendestellen zu berechnen. Danach auch wieder x-Koordinaten in f(x) einsetzen.
Nun ist es so, dass die notwendige Bedingung für Extremstellen f'(x)=0 lautet, für die hinreichende fehlt jedoch noch f''(x) ungleich null; für Wendestellen muss die 3. Ableitung ungleich null sein.
Falls die letzten beiden Ableitungen nicht ungleich null 0 sind, bedeutet dies jedoch nicht, dass nicht doch ein Extrem- bzw. Wendepunkt vorliegen kann, aber vielleicht z.B. ein Sattelpunkt.
Um nun zu überprüfen, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, musst du entweder das Vorzeichenwechselkriterium anwenden oder die zweite Ableitung verwenden - ist diese am Extrempunkt größer als 0, so liegt ein Tiefpunkt (= Linkskurve) vor. Bei einem negativen Ergebnis demnach ein Hochpunkt (= Rechtskurve).
Über beide Varianten kannst du hier etwas nachlesen:
http://www.mathematik-wissen.de/hochpunkte_bzw_tiefpunkte.htm
LG Wunderkerze2012
Horner Schema siehe Mathematik-Formelbuch Algebraische Gleichungen n. ten Grades.
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Die Nullstellen der 1.Ableitung sind die ExtremSTELLEN der Ausgangsfunktion.
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Die Nullstellen der 2. Ableitung sind die WendeSTELLEN der Ausgangsfunktion und die ExtremSTELLEN der 1. Ableitung.
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Mithilfe der 2. Ableitung kannst du überprüfen, ob es sich um ein Tief-/ Hochpunkt handelt (Vorzeichenwechsel oder einsetzen der Extremstelle in die 2. Ableitung)
Schaue in den Mathematik-Formelbuch nach.Wenn du kein´s hast ,musst du dir ein´s besor- gen,sonst kannst´e einpacken !!
Aus dem Mathe-Formelbuch
Maximum f´(x) = 0 und f´´(x) < 0
Minimum f´(x) = 0 und f´´(x) > 0
Wendepunkt f´´(x) =0 und f´´´(x) ungleich 0
Sattelpunkt Nullstellen von f´´(x) in f´(x) einsetzen, wird f´(x)=0 so liegt ein Sattelpunkt vor
Dies sind "notwendige" und hinreichende Bedingungen
lokale Monotonie
monoton wachsend f(x) < f(xo) und f´(xo) grösser gleich Null
" " f(x) > f(xo) und f´(xo) kleiner gleich Null
monoton fallend f(x) > f(xo) und f´(xo) grösser gleich Null
" " f(x)< f(xo) und f´(xo) kleiner gleich Null
Horner-Schema siehe Mathematik-Formelbuch
wird eingesetzt beim Lösen Algabraischer Gleichungen n.ten Grades der Form
y=f(x)= a3 * x^3 + a2 * x^2 + a1 * x + ao ,hier ist n=3 natürlich kann n auch höhere Werte an- nehmen.
https://www.youtube.com/watch?v=SQx0WMkmpw8
zum Nullstellen berechnen bei Funktionen ab 3. Grades (hoch 3)
Besser als meine Variante:)!!!