Frage von fr0zencipe, 60

Hilfe bei Extrempunkten/Wendepunkten Funktion 4. Grades?

Hallo.

Bei der Funktion:

f(x)= -1/4(x⁴-8x²-9)

Jetzt habe ich zwei Nullstellen bei der ersten Ableitung:

x1=0 -> HP(0|9/4) x2=2 -> HP(2|57/4) (Komische Zahl, aber ok)

So, für die Wendepunkte f´´(x)=0:

x= Wurzel(4/3)

Jetzt zur Frage. Es kommt mir ein bischen komisch vor, dass ich nur eine Nullstelle bei der zweiten Ableitung herausbekomme. Eine Funktion 4. Grades hat doch eigentlich mehr?!?

Im Unterricht haben wir in ähnlichen Situationen das so gemacht:

anstatt: x1=Wurzel(4/3)

dass hier: x1= Wurzel(4/3) x2= -Wurzel(4/3)

Das gleiche ist bei den Extrempunkten, zwei Extrempunkte kommen mir auch ein bischen wenig vor...

Woher weis ich jetzt, wann die Nullstelle +- ist, und wann nicht?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 27

Die vorzeichenbehaftete Fallunterscheidung muss beim Wurzelziehen gemacht werden.

Beispiel:

x² = 3/4
x = ±√(3/4)

Zum Ableiten sollte die Funktion vereinfacht werden:

f(x) = -1/4 * (x⁴ - 8x² - 9)
      = -1/4 * x⁴ + 2x² + 2,25

Extrema:

f'(x) = -x³ + 4x
       = x(-x² + 4)

x₁ = 0
x₂₋₃ = ±2

Die Extremstellen liegen also bei x = -2 und x = 2 (Maxima) sowie bei x = 0 (Minimum).

Wendepunkte:

f''(x) = (-x³ + 4x)' = -3x² + 4

-3x² + 4 = 0
-3x² = -4
x² = 4/3
x = ±√(4/3) = ±2/√3

Die Wendepunkte liegen also bei x = -2/√3 sowie bei x = 2/√3.

Intuition ist in der Mathematik meist schlecht.

Gedanken wie "Zwei Extremstellen sind aber wenig." sind redundant. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von fr0zencipe ,

Danke, also wenn ich das richtig verstanden habe:

Ausgeklammertes x ist eine nullstelle, der rest in der Klammer ist so eine ± Nullstelle, also zwei nullstellen. Danke.

Kommentar von Willibergi ,

Naja, es muss nicht unbedingt immer eine "±-Nullstelle" sein.

Du setzt einfach nur beide Faktoren des Produkts null - aufgrund der biquadratischen Gleichung in der Klammer erhältst du zwei weitere Nullstellen.
Würde in der Klammer ein linearer Ausdruck stehen, hätte dieser Teil nur eine Nullstelle.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Du solltest bei der Ableitung nicht von Nullstellen reden, auch wenn es welche sind. Das führt immer zu Missverständnissen.
Diese Kurve hat 2 reelle Nullstellen, die anderen beiden sind imaginär. Sie ist achsensymmetrisch und sieht aus wie ein Zahn (Unterkiefer).
Es gibt 3 Extrema (2 Maxima und ein Minimum) und 2 Wendepunkte.

Wenn noch Fragen sind, schreib einen Kommentar!

Dass in der Klammer ein volles Quadrat steht, hast du gemerkt?

Kommentar von Volens ,

Was hast du denn bei den Extremwerten gerechnet?
!. Ableitung = 0 ergibt 
x = 0    y = 2,25
x = 2    y = 6,25
x = -2   y = 6,25

wenn ich mich nicht verrechnet habe. Kommt auch vor, ist hier aber unwahrscheinlich.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 12

immer wenn du die wurzel ziehst, kommen 2 Werte raus;

f ' = 0 → x1=0 und x2,3 = ± wurzel 4

f  " = 0 → x1,2 = ± wurzel (4/3)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 5

2 Nullstellen bei f(x) = ... x1=- 3 x2=3

2 Maximum bei x1 max=- 2 y1max=6,25 und x2 max= 2 y2max=6,25

2 Minimum bei xmin=0 ymin= 2,25

2.te Ableitung f´´(x)=- 3 * x^2 +  4 diese Nullstellen beziehen sich auf die 2.te Ableitung und nicht auf die Funktion f(x)

also f´´(x)=0= - 3*x^2 + 4 ergibt x1,2= +/- Wurzel (4/3) = +/- 1,1547

Antwort
von Jonas711, 24

http://m.wolframalpha.com/input/?i=+-1%2F4%28x⁴-8x²-9%29&x=0&y=0

Da passt einiges nicht...

Generell gilt: x^2= y => x1=Wurzel(y), x2=-Wurzel (y)

Antwort
von Australia23, 13

f(x)= -1/4(x⁴-8x²-9)

f'(x)=-x^3+4x -> Funktion 3. Grades: besitzt 3 Nullstellen

-x^3+4x=0
x(-x^2+4)=0

1. x=0 -> x1=0
2. -x^2+4 = 0
    - (x^2-4) = 0
    (x-2)*(x+2) = 0 -> x2=2, x3=-2

f''(x)= 4 - 3x^2 -> Funktion 2. Grades: besitzt 2 Nullstellen

-3x^2 + 0x + 4= 0 -> Mitternachtsformel (oder p-q Formel)

x= ( -0+-(0^2-4*(-3)*4)^(1/2) ) / 2*(-3) = +- (48^(1/2)) / (-6)

-> x1= 2*3^(1/2) / 3 = (4/3)^(1/2)
    x2= - 2*3^(1/2) / 3

Du musst also nur die Gleichungen "korrekt" auflösen, dann solltest du auch alle Nullstellen herausbekommen...

Kommentar von Australia23 ,

Willibergi's Berechnung zu den Nullstellen von f''(x) währe noch etwas schneller...

Aber man sieht: beide Methoden führen zu den selben zwei Lösungen ^^

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