Extrem- und Wendepunkte einer Funktion 5. Grades?
Gegeben ist die Funktion f(x) = x^5 - 4x^2 wovon ich die Extrem- und Wendepunkte bestimmen soll.
Für den Extrempunkt habe ich zuerst die 1. Ableitung gebildet und 0 gesetzt : 5x^4 - 8x = 0
Jetzt weiß ich nicht wie ich weitermachen soll.
1 Antwort
f(x) = x ^ 5 - 4 * x ^ 2
f´(x) = 5 * x ^ 4 - 8 * x
f´´(x) = 20 * x ^ 3 - 8
f´´´(x) = 60 * x ^ 2
Nullstellen der ersten Ableitung berechnen :
5 * x ^ 4 - 8 * x = 0
Ein x ausklammern :
x * (5 * x ^ 3 - 8) = 0
Wegen dem Satz vom Nullprodukt (google danach !) ist die erste Nullstelle x_1 = 0
Mögliche weitere Nullstellen erhältst du über den in der Klammer verbliebenden Term :
5 * x ^ 3 - 8 = 0
x ^ 3 = 8 / 5
x_2 = ∛(8 / 5)
Diese Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen um herauszufinden um welche Art von Extremwert es sich handelt :
f´´(x) = 20 * x ^ 3 - 8
f´´(0) = 20 * 0 ^ 3 - 8 = - 8
Weil f´´(0) < 0 ist, deshalb liegt an der Stelle x_1 = 0 ein Maximum
f´´(∛(8 / 5)) = 20 * (∛(8 / 5)) ^ 3 - 8 = 20 * (8 / 5) - 8 = 32 - 8 = 24
Weil f´´(∛(8 / 5)) > 0 ist, deshalb liegt an der Stelle x_2 = ∛(8 / 5) ein Minimum
Da du Extrempunkte ausrechnen sollst und keine Extremstellen, musst du die Extremstellen zu Extrempunkten vervollständigen, dazu setzt du die Nullstellen der 1-ten Ableitung in die Originalfunktion ein :
f(x) = x ^ 5 - 4 * x ^ 2
f(0) = 0 ^ 5 - 4 * 0 ^ 2 = 0
Maximum (0 | 0)
f(∛(8 / 5)) = (∛(8 / 5)) ^ 5 - 4 * (∛(8 / 5)) ^ 2 = ∛(32768 / 3125) - 4 * ∛(64 / 25) = 32 / ∛(3125) - 16 / ∛(25)
Minimum (∛(8 / 5) | 32 / ∛(3125) - 16 / ∛(25))
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Um die Wendepunkte zu berechnen zuerst die Nullstellen der 2-ten Ableitung berechnen :
f´´(x) = 20 * x ^ 3 - 8
20 * x ^ 3 - 8 = 0
20 * x ^ 3 = 8
x ^ 3 = 2 / 5
x = ∛(2 / 5)
Nun prüfen, ob die 3-te Ableitung für x = ∛(2 / 5) ungleich Null ist :
f´´´(x) = 60 * x ^ 2
f´´´(∛(2 / 5)) = 60 * ∛(2 / 5) ^ 2 = 60 * (2 / 5) ^ (2 / 3)
Das ist ungleich Null, deshalb liegt an der Stelle x = ∛(2 / 5) eine Wendestelle.
Da du Wendepunkte ausrechnen sollst und keine Wendestellen, musst du die Wendestellen zu Wendepunkten vervollständigen, dazu setzt du die Nullstellen der 2-ten Ableitung in die Originalfunktion ein :
f(x) = x ^ 5 - 4 * x ^ 2
f(∛(2 / 5)) = ∛(2 / 5) ^ 5 - 4 * ∛(2 / 5) ^ 2 = (2 / 5) ^ (5 / 3) - 4 * (2 / 5) ^ (2 / 3) = ∛(32 / 3125) - 4 * ∛(4 / 25)
Wendepunkt (∛(2 / 5) | ∛(32 / 3125) - 4 * ∛(4 / 25))