quadratische Funktionen, Wendepunkt bzw. Extrempunkt?
Hallo,
meine Frage ist, ob quadratische Funktionen einen Extrempunkt, bzw. Wendepunkt besitzen? Ich habe mir aufgeschrieben, dass der Scheitelpunkt der Extrempunkt wäre, jedoch finde ich im internet eben andere Ergebnisse.
Das ganze sollte allgemein betrachtet sein.
6 Antworten
f(x) = ax² + bx + c ; a ungleich 0, a,b und c Element R
Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion (Parabel) ist für
a < 0 der Hochpunkt
a > 0 der Tiefpunkt
Nun noch die Begründung, warum eine Parabel keinen Wendepunkt hat:
f(x) = ax² + bx + c
f'(x) = 2ax + b
f''(x) = 2a
f'''(x) = 0
Weil bei einem Wendepunkt die zweite Ableitung Null sein müsste, wäre a = 0 und es würde keine quadratische Funktion vorliegen. Die dritte Ableitung darf bei einem Wendepunkt nicht 0 sein, auch diese Bedingung für einen Wendepunkt wird verletzt.
Noch am Rande die Herleitung der Scheitelkoordinaten:
f'(x) = 0
2a*x+b = 0 |-b |:2a
x = -b/2a ist die x-Koordinate des Scheitels
y = b²/4a -b²/2a + c
y = b²/4a -2b²/4a +c
y = -b²/4a +c ist die y-Koordinate des Scheitels
Nun könnte man mit der zweiten Ableitung begründen (Vorzeichen), für welche Werte von a ein Tiefpunkt und für welche ein Hochpunkt vorliegt.
Quadratische Funktionen haben keinen Wendepunkt.
Ich werde mir mal Mühe geben, dir das durch ein Beispiel zu verdeutlichen:
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Was ist eigentlich ein Wendepunkt überhaupt? Ein Punkt, in dem sich im Funktionsverlauf einer beliebigen Funktion f(x) das Krümmungsverhalten ändert, nicht wahr?
So und du weißt vielleicht auch, dass die erste Ableitung f'(x) einer Funktion ihre Steigung beschreibt oder?
Die Steigung einer Quadratischen Funktion ändert sich ja ständig, oder?
Bei f(x) = x² z.B. ist die Steigung erst negativ, sie fällt. Diese negative Steigung nimmt aber immer weiter ab, je mehr du dich von links dem Ursprung näherst.
Im Ursprung ist sie Null und dann "steigt die Steigung" wieder, genau so, wie sie im negativen x-Bereich abgenommen hat.
Wie sähe der Funktionsverlauf von f'(x) (der ersten Ableitung) dann aus?
Nun, es wäre eine gerade Linie mit einer positiven Steigung, die durch den Ursprung (0|0) geht.
Das trifft auch auf den Funktionsverlauf zu.
Zunächst ist die Steigung im negativen Bereich, die Kurve fällt. Je näher sie jedoch dem Ursprung kommt, desto weniger fällt sie, das wird dadurch verdeutlicht, dass die Linie immer weiter nach oben steigt. Im Ursprung ist die Steigung Null, deswegen geht die erste Ableitung auch durch den Ursprung. Danach fängt die Funktion an, zu steigen, was dadurch verdeutlicht wird, dass die gerade Linie nach oben steigt, die Steigung wird also immer größer.
Wenn du so willst, kannst du die Funktion als Spur eines Autos betrachten.
Am Anfang ist das Lenkrad ganz links, dann fängt der Autofahrer an, das Lenkrad gleichmäßig nach rechts zu drehen. Dabei kommt eine parabelförmige Spur heraus.
Wichtig, ist dass die Krümmung hier gleich bleibt. Das sieht man daran, dass die erste Ableitung immer linear ist. Das bedeutet: Bei quadratischen Funktionen kann sich die Krümmung nur gleichmäßig ändern, da die Ableitung einer Funktion zweiten Grades nur eine Funktion ersten Grades sein kann.
Die erste Ableitung von f(x) = x² wäre dann auch f'(x) = 2x.
Siehe da: Eine lineare Funktion mit positiver Steigung, die durch den Ursprung geht.
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Was würde jetzt ein Wendepunkt bedeuten?
Die Krümmung ändert sich. Was genau ist die Krümmung aber eigentlich und wo können wir sie ablesen?
Um es kurz zu machen: Krümmung bedeutet: Änderung der Steigung, nicht wahr? Man kann die Krümmung einer Funktion also an der Änderung der Steigung des Funktionsverlaufes der ersten Ableitung dieser Funktion erkennen.
Bei der ersten Ableitung von f(x) sehen wir, dass es sich um eine Gerade handelt. Da ändert sich die Steigung nicht, klar, oder? Das Krümmungsverhalten hier ist also schlichtweg nicht vorhanden.
Und da es sich bei jeder ersten Ableitung einer quadratischen Funktion um eine Funktion ersten Grades handelt, kann man mit Fug und Recht behaupten, dass
quadratische Funktionen nie einen Wendepunkt besitzen.
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Wie genau sähe das dann jedoch aus?
Nun an einem Wendepunkt geschieht ja bekanntermaßen folgendes:
Die Krümmung eines Funktionsverlaufes ändert sich von linksgekrümmt zu rechtsgekrümmt oder umgekehrt.
(Sattelpunkte lasse ich jetzt mal außenvor)
Das bedeutet: In der ersten Ableitung einer Funktion ist die Steigung erst positiv und wird dann negativ. Oder umgekehrt. Und wann ist das der Fall? Wenn bei der ersten Ableitung ein Extrempunkt existiert.
Wie würdest du normalerweise Extrempunkte berechnen? Du würdest die erste Ableitung einer Funktion bilden und dann würdest diese Funktion gleich Null setzen, um die Extremstelle herauszufinden, nicht wahr? Genau das müsstest du jetzt mit der ersten Ableitung machen.
Genau in diesem Punkt ändert sich dann die Krümmung der Funktion. Nehmen wir noch einmal das Beispiel mit dem Autofahrer: Wie würde das hier aussehen? Er würde das Lenkrad eine Weile nach rechts drehen und dann nach links. Dabei käme in etwas so ein Verlauf heraus:
Wo wäre dann der Wendepunkt? Genau da, wo das Lenkrad im Moment, wo der Fahrer das Lenkrad von der einen zur anderen Seite drehte, für einen Moment in der Mitte stand. Die Steigung der Steigung ist in diesem Punkt also Null. Es ist also tatsächlich ein Extrempunkt in der ersten Ableitung.
Um diesen zu bestimmen bilden wir also die erste Ableitung der ersten Ableitung der Funktion. Also die zweite Ableitung der Funktion. Und von dieser sind alle Nullstellen Wendestellen der Funktion.
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Man kann das so auch von hinten aufgreifen:
Wie berechnet man die Wendestellen einer Funktion? Indem man die Nulstellen der zweiten Ableitung dieser Funktion bestimmt.
Was jedoch geschieht, wenn man eine quadratische Funktion zwei mal ableitet?
Machen wir das mal mit f(x) = x².
f'(x) = 2x
f''(x) = 2
Das ist eine Konstante. Der Funktionsverlauf dieser Funktion ist parallel zur x-Achse, eine gerade Linie, die die x-Achse in keinem Punkt schneidet, folglich hat sie keine Nullstelle.
Die zweite Ableitung einer quadratischen Funktion kann folglich nie eine Nullstelle besitzen, weil sie immer irgendeine Konstante ist. Folglich haben quadratische Funktionen nie einen Wendepunkt.
naja allgemein betrachtet:
f(x)= ax^2+bx+c
f´(x) = 2ax+b
Extrempunkt:
f´(x)=0 --> 2ax+b=0 --> x= -b/2a
Wendepunkt:
f´´(x)=2a aber f´´´(x)=0 also kein Wendepunkt
Eine quadratische Funktion hat immer eine einzige Krümmung, daher existiert kein Wendepunkt. Extreme hingegen schon.
Gruß
Mein Vorredner hat die Frage bereits beantwortet, ich führe Dir das Ganze nur noch genauer aus.
Quadratische Funktionen ( f(x)=Ax²+B, A und B sind Zahlen, x die Variable) haben immer die Form einer Parabel ( sieht entweder aus wie ein U oder ein auf den Kopf gestelltes U ). Deswegen gibt es immer einen Hoch- bzw. Tiefpunkt und keinen Wendepunkt.
Mfg