Wendepunkte und Nullstellen bei Ableitungen?
Hallo,
warum darf die dritte Ableitung beim Berechnen von Wendepunkten nicht gleich Null ergeben? Was sagt denn die dritte Ableitung denn aus?
Und was passiert mit den Nullstellen wenn man ableitet. Sind/Werden diese dann egal und es passiert nichts wirkliches mit denen?
5 Antworten
warum darf die dritte Ableitung beim Berechnen von Wendepunkten nicht gleich Null ergeben?
Bei einer Ableitung einer Funktion f, also f', werden die Extrema zu Nullstellen, die Wendepunkte zu Extrema, ...
Ist f''' "= 0", so ist f'' eine Konstante ungleich 0 (hat "kein" Glied),
so ist f' linear (hat ein lineares Glied und vielleicht ein absolutes Glied),
so ist f quadratich (hat ein quadratiches Glied, vielleicht lineares Glied und vielleicht ein absolutes Glied)
und quadratische Funktionen können keine Wendepunkte haben, demnach gilt bie f''' "= 0", das f keine Wendepunkte hat.
(siehe "Aufleiten")
Was sagt denn die dritte Ableitung denn aus?
Die dritte Ableitung f''' von f macht alle Extrema von f'' zu Nullpunkte, alle Wendepunkte von f'' zu Extrema.
Und was passiert mit den Nullstellen wenn man ableitet.
Die Ableitung eines 'Nullpunks' ist wie die Ableitung jedes anderen Punkts, gibt also die Steigung an den Punkt (hier Nullpunkt wieder).
So ist dann z.B die Steigung von "f(x) = x²" bei der Nullstelle "= 0", die Steigung von "f(x) = x² - 1" bei den Nullstellen "= ±2" und die Steigung von "f(x) = x²" bei den Nullstellen "= ±4".
Sind/Werden diese dann egal und es passiert nichts wirkliches mit denen?
Die Nullstellen einer Funktion f sind bei f' bei Bijektivität immer noch vorhanden, doch der Punkt zur Stelle kann seine y-Koordinate änder, muss es aber nicht.
Die dritte Ableitung ist eigentlich nur die Steigung der Krümmung eine besondere geomtrische Eigenschaft hat die nicht mehr.
Im wesentlichen ist das mit dem Wendepunkt aber etwas komplizierter als hier dargestellt
Es geht nämlich um die nächste höhere Ableitung welche ungleich 0 ist. Wenn diese Ableitung eine ungerade Ordnung hat handelt es sich um einen Wendepunkt.
Die 3te Ableitung kannst du dabei so sehen, dass dir das Vorzeichen von dieser anzeigt ob die Krümmung von rechts auf links oder links auf rechts wechselt. Ist die 3te Ableitung 0 so ändert sich die Krümmung nach dieser Anschauung nicht, womit kein Wendepunkt vorliegt.
Was meinst du damit ob die Nullstellen egal sind?
Die Ableitungen haben natürlich alle ihre eigenen Nullstellen, welche teilweise im Sinne der Stammfunktion eine bestimmte Eigenschaft bilden.
Nein. Beim Ableiten geht ja immer eine Information verloren und diese Information welche verloren geht steckt in den Nullstellen drinnen.
Somit haben die Nullstellen der Basisfunktion idR keine Bedeutung für die Ableitung.
Man hat eine Funktion (3. Grades)
Die erste Ableitung gibt die Nullstellen an und die Steigung deiner Funktion. (2. Grad)
Die zweite Ableitung gibt die Wendestellen deiner Funktion an und die Steigung der ersten Ableitung. (1. Grade)
Die dritte Ableitung gibt die Steigung der zweiten Ableitung an (0. Grad)
0.Grad heißt, es ist einfach nur noch eine horizontale Gerade die Vorhanden sein muss, wenn eine 2. Ableitung existiert, da diese die Steigung angibt z.B. X3
Die dritte Ableitung sagt über deine Stammfunktion nichts mehr aus.
Generell ist das so: 1. Anleitung beschriebt die Steigung an einem.Punkt
2. Ableitung die Krümmung an einem Punkt.
Dass die 3m Ableitung =/= 0 ist, ist eine Notwendige Bedingung
Zu deiner ersten Frage: Wendestellen sind Extremstellen der ersten Ableitung, da an diesen Stellen die Änderungsrate maximal bzw. minimal ist. Die hinreichende Bedingung gilt somit für die dritte Ableitung, die ungleich 0 sein muss.
Zu deiner zweiten Frage: Mit den Nullstellen passiert gar nichts, diese sind immer noch die Nullstellen der Funktion.
Danke, ich meinte mit den Nullstellen eher so, ob Nullstellen auch irgendwas wie Extrema oder so werden in irgendeiner Ableitung.