Sattelpunkt oder Wendepunkt 3 ableitung ungleich 0?
Hat die Funktion x^5 einen Wende oder Sattelpunkt? Die 3.Ableitung der Funktion ist ja gleich 0 und somit kann es keinen Wendepunkt oder Sattelpunkt haben.Liege ich da richtig ?
7 Antworten
Alles was einen Sattelpunkt besitzt hat auch einen Wendepunkt weil die Krümmung sich ändern von links nach rechts oder rechts nach links
Wendepunkte = Extrema der Ableitung
Nullstelle der Ableitung ist nur notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Extremstelle.
x^4 hat bei x=0 ein Minimum (und keinen Wende-/Sattelpunkt), obwohl die 2. Ableitung 0 ist.
Falls die Funktion hinreichend oft differenzierbar ist, berechnet man die Ableitungen immer höherer Ordnung, bis man auf eine Ableitung ungleich 0 stößt.
Falls die Ordnung dieser Ableitung ungerade ist -> Extremum.
Falls die Ordnung dieser Ableitung gerade ist -> Sattelpunkt.
Falls alle (existierenden) Ableitungen verschwinden, muss man sich andere Verfahren einfallen lassen, um zu bestimmen, um welche Art von Punkt es sich handelt.
Ist die 3. Ableitung an der Wendestelle auch Null, leitest Du einfach weiter ab, bis eine Ableitung ungleich Null ist. Ist diese Ableitung "ungerader Ordnung", also die 5., 7., 9., usw. Ableitung, dann hast Du dort einen Wendepunkt. Ist diese Ableitung gerader Ordnung, dann ist es ein Hoch-/Tiefpunkt (z. B. bei f(x)=x^6)
Wenn die 3. Ableitung =0 ist, musst du dir die 4. Anschauen. Wenn die ungleich 0 ist, hast du keinen Wendepunkt, wenn sie gleich null ist musst du dir die fünfte Ableitung anschauen, wenn die ungleich 0 ist, hast du einen Sattelpunkt.
Generell musst du die frühste Ableitung finden, die nicht 0 ist. Abhängig davon, ob du eine gerade oder eine ungerade anzahl an Ableitungen durchgeführt hast, ist das dann ein Sattel- oder Wendepunkt.
wie Rhenane sagt; weiter ableiten; wenn ungerade..ungleich 0 dann hast du einen WP;
dann gucken, ob auch f ' = 0 dann ist der WP auch ein Sattelp.