Extrempunkt/Wendepunkt Bedingung - Was wenn hinr. Bedingung gleich 0 ist?
Hey Community,
Um was handelt es sich hierbei wenn bei den hinreichenden Bedingungen für den EP und WP , die Bedingung nicht ungleich 0 sondern gleich 0 ist?
F''(x)=0 --> handelt es hier dann um einen Sattelpunkt?
F'''(x)= 0 --> und was sagt dass hier aus ?
Vielen Dank im voraus
2 Antworten
Es ist ein verbreiteter Irrtum, dass die hinreichende Bedingung für einen Extrempunkt f''(x) <> 0 ist. Wäre das nämlich schon hinreichend, bräuchte man f'(x) = 0 gar nicht prüfen.
Die hinreichende Bedigung lautet f'(x) = 0 und f''(x) <> 0.
Nur beides zusammen ist hinreichend. Jede notwendige Bedingung muss Teil der hinreichenden Bedingung sein, denn sonst wären sie ja nicht notwendig.
Wenn f'(x) = und und f''(x) = 0, dann muss man die nächste Ableitung überprüfen.
Beispiel 1
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
f'(0) = 0 (offensichtlich)
f''(0) = 0
-> f'''(0) = 6 > 0 => Sattelpunkt / Wendepunkt
Beispiel 2
f(x) = x^4
f'(x) = 4x³
f''(x) = 12x²
f'''(x) = 24x
f''''(x) = 24
f'(0) = 0 (offensichtlich)
f''(0) = f'''(0) = 0
f''''(0) = 24 > 0 => Tiefpunkt
Wie es aussieht, haben wir einen Wendepunkt vorliegen, wenn die nte Ableitung die erste Ableitung ist, die ungleich 0 ist, wobei n ungerade ist und einen Extrempunkt vorliegen, wenn die erste von 0 verschiedene Ableitung die nte ist, wobei n gerade ist.
f'(x) = 0
0 = 4x³ | :4
0 = x³ | 3te Wurzel
x = 0
Genauso ergibt sich für die anderen Ableitungen bis zur 4. eine 0 an der Stelle 0.
Die vierte Ableitung hat an der Stelle 0 den Funktionswert 24. Da es die vierte Ableitung ist und 4 gerade ist, handelt es sich um einen Extrempunkt, in diesem speziellen Fall um einen Tiefpunkt.
Ich bevorzuge das Vorzeichenwechselkriterium: Ist f ' (x) = 0 und f ''(x) = 0 sieht man nach, ob f ' bei x das Vorzeichen wechselt. Man kann auch logisch schließen, ob (wenn Extremum) es sich um Minimum oder Maximum handelt...
Ist klar, dass du als Wechselfreund das Vorzeichenwechselkriterium bevorzugst. ;P
Danke soweit alles gut verstanden ^^ Nur die letzten drei Zeilen verstehe ich nicht , könntest du es bitte genauer erläutern ?^^