Integral x*e^x dx. Ist es überhaupt möglich diese Funktion zu integrieren, da mir mein Taschenrechner und auch die Rechner im Netzt kein Ergebnis angeben?
5 Antworten
Basierend auf der Produktregel beim Ableiten findet man eine Methode, die man Partielle Integration nennt.
Produktregel: Für eine Funktion f und zwei Funktionen u und v mit f(x) = u(x) * v(x) gilt: f '(x) = ( u * v ) '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).
Integriert man auf beiden Seiten der Gleichung, dann erhält man
u(x) * v(x) = int u '(x) * v(x) dx + int u(x) * v '(x)
Wir bringen einen Summanden der rechten Seite auf die linke Seite.
int u(x) * v '(x) = u(x) * v(x) - int u '(x) * v(x) dx
Seien nun u(x) = x und v '(x) = e^x. Dann ergibt sich wegen u '(x) = 1 und v(x) = e^x:
int x * e^x dx = x * e^x - int 1 * e^x dx = x * e^x - e^x
Dann ist die Stammfunktion von g(x) = x * e^x gegeben durch
G(x) = x * e^x - e^x = e^x ( x - 1 ).
Bei solchen Aufgaben geht man über die partielle Integration. Beide Faktoren werden als eigene Funktion angesehen, wobei man eine als Ableitung, die andere als "normale" Funktion wählt, d. h. Du hast hier die Form f'(x) * g(x). Eine Funktion musst Du also integrieren, die andere ableiten, bevor Du die Formel für die part. Integration anwendest. Da x abgeleitet 1 ergibt, wäre g(x)=x eigentlich immer eine gute Wahl...
hehe, typische Aufgabe ^^ Kenn ich noch. Wir dachten damals auch das wäre nicht möglich. Es ist aber möglich. Dafür muss man aber bisschen tricksen, weil keine gewöhnliche Integrationsmethode funktioniert.
Siehe hier: http://www.peacetogether.net/fhs/math31/tutorials/11-4.pdf
Das bestimmte Integral über die ganze reelle Achse ist unendlich, aber ein unbestimmtes Integral oder ein bestimmtes Integral über ein endliches Intervall lässt sich zum Beispiel mittels partieller Integration berechnen.
Dass die Lösung nicht im Netz zu finden ist, ist nicht hinreichend dafür, dass sie nicht existiert. ;)
Es stimmt aber auch nicht. Wolfram alpha liefert ein Ergebnis:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x+e%5Ex+dx