Frage von niewiedertipico, 39

Integral x*e^x dx. Ist es überhaupt möglich diese Funktion zu integrieren, da mir mein Taschenrechner und auch die Rechner im Netzt kein Ergebnis angeben?

Expertenantwort
von everysingleday1, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 4

Basierend auf der Produktregel beim Ableiten findet man eine Methode, die man Partielle Integration nennt.

Produktregel: Für eine Funktion f und zwei Funktionen u und v mit f(x) = u(x) * v(x) gilt: f '(x) = ( u * v ) '(x) = u '(x) * v(x) + u(x) * v '(x).

Integriert man auf beiden Seiten der Gleichung, dann erhält man

u(x) * v(x) = int u '(x) * v(x) dx + int u(x) * v '(x)

Wir bringen einen Summanden der rechten Seite auf die linke Seite.

int u(x) * v '(x) = u(x) * v(x) - int u '(x) * v(x) dx

Seien nun u(x) = x und v '(x) = e^x. Dann ergibt sich wegen u '(x) = 1 und v(x) = e^x:

int x * e^x dx = x * e^x - int 1 * e^x dx = x * e^x - e^x

Dann ist die Stammfunktion von g(x) = x * e^x gegeben durch

G(x) = x * e^x - e^x = e^x ( x - 1 ).

Antwort
von PhotonX, 28

Das bestimmte Integral über die ganze reelle Achse ist unendlich, aber ein unbestimmtes Integral oder ein bestimmtes Integral über ein endliches Intervall lässt sich zum Beispiel mittels partieller Integration berechnen.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Bei solchen Aufgaben geht man über die partielle Integration. Beide Faktoren werden als eigene Funktion angesehen, wobei man eine als Ableitung, die andere als "normale" Funktion wählt, d. h. Du hast hier die Form f'(x) * g(x). Eine Funktion musst Du also integrieren, die andere ableiten, bevor Du die Formel für die part. Integration anwendest. Da x abgeleitet 1 ergibt, wäre g(x)=x eigentlich immer eine gute Wahl...

Antwort
von ausdertonne, 10

Dass die Lösung nicht im Netz zu finden ist, ist nicht hinreichend dafür, dass sie nicht  existiert. ;)

Es stimmt aber auch nicht. Wolfram alpha liefert ein Ergebnis:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+x+e%5Ex+dx


Antwort
von Omnivore11, 27

hehe, typische Aufgabe ^^ Kenn ich noch. Wir dachten damals auch das wäre nicht möglich. Es ist aber möglich. Dafür muss man aber bisschen tricksen, weil keine gewöhnliche Integrationsmethode funktioniert.

Siehe hier: http://www.peacetogether.net/fhs/math31/tutorials/11-4.pdf

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