(1) Ja
(2) Nein, denn das Qudrat einer rationalen Zahl ist ja immer selbst eine rationale Zahl; folglich kann die Wurzel einer irrationalen Zahl nie rational sein.
Ein Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass zu jedem x aus den Def.bereich nur ein y-Wert gehört.
Umkehrbar wäre eine Funktion demnach dann, wenn auch umgekehrt gilt, dass zu jedem y-Wert nur ein x-Wert existiert. oder du kannst auch sagen: wenn jedes y nur einmal als Funktionswert auftritt.
Anschaulich kannst du das an den Zeichnungen so erkennen: Jede Parallele zur y-Achse daf den Funktionsgraphen höchstens einmal schneiden. Dies ist beim ersten und vierten Graphen der Fall. Die entsprechenden Funktionen sind also umkehrbar. Dagegen finden sich beim zweiten und dritten Graphen Parallelen, die den Graphen mehrmals schneiden -> nicht umkehrbar.
Eine Nullstelle ist eine Stelle (dh ein x-Wert) an der der Funktionswert gleich 0 ist. Anschaulich: Der Funktionsgraph schneidet dort die x-Achse.
Bestimmung der Nullstellen:
Funktionsterm gleich 0 setzen und die so entstandene Gleichung nach x auflösen. Es kann natürlich vorkommen, dass die Gleichung keine Lösung hat (also die Lösungsmenge leer ist). In diesem Fall hat die Funktion keine Nullstelle (anschaulich: der Funktionsgraph schneidet die x-Achse nicht).
Wenn r=1, dann ist der Flächeninhalt π. Eine Formel, die den Inhalt eines Kreises liefert, muss für r=1 also π ergeben, was wieder heißt, dass π in irgendeiner Weise da drin stecken muss. Dies kann aber auch in "versteckter" Form sein, wie in dem Integral von Willibergi; dh, π muss nicht unbedingt explizit drin stehen. Aber es mus rauskommen.
0 : 2 = 0
Die 0 ist durch 2 teilbar, es "geht auf" --> 0 ist gerade
Ausklammern. Du kannst x ausklammern.
... Büchern die man einfach nicht mehr weglegen kann! ...
Das ist natürlich immer auch Geschmackssache ... Aber mit ging es mit Tolkien, "Der Herr der Ringe" so!
Sie hatten ein geozentrisches Weltbild. Und das hat genau gar nichts mit "Egoismus" zu tun, sondern mit dem Stand von Wissenschaft und Erkenntnis.
Dass sich die Erde bewegt, davon merkt man ja nun nichts; und Bewegung und Stillstand nehmen wir mit unseren Sinne immer nur in Bezug auf den Erdboden war, welcher selber als ruhend erscheint. Dass sich die Erde bewegen soll, ist da erstmal ziemlich unplausibel; dass es doch so ist, auf die Idee muss man erstmal kommen (schon das ist eine große Abstrktionleistung), und dann muss man das noch nachweisen.
Die erste Ableitung einer Funktion gibt deren Steigung an. Das beantwortet deine Frage: Für die Steigung wird immer einmal abgeleitet, völlig egal, was das für eine Funktion ist..
Das kann man nachschlagen:
"Der statische Auftrieb ist eine der Schwerkraft entgegengesetzte Kraft auf einen Körper
in Flüssigkeiten oder Gasen. Der statische Auftrieb wird durch die
Verdrängung des umgebenden Mediums hervorgerufen. Er bewirkt, dass
Schiffe schwimmen oder Heißluftballone fahren.
Die Stärke des statischen Auftriebs ergibt sich aus dem archimedischen Prinzip.
... Die Ursache für die Auftriebskraft liegt darin, dass der hydrostatische Druck
von der Höhe des betrachteten Orts abhängt. Auf die Unterseite des
Körpers wirkt ein höherer Druck als auf die Oberseite. Wenn kein Fluid
an die Unterseite des Körpers gelangen kann, dann gilt das archimedische
Prinzip nicht. In diesem Fall ergibt sich keine Auftriebskraft."
(wikipedia. "Statischer Auftrieb")
Dagegen "Dynamischer Auftrieb":
"Der dynamische Auftrieb
ist eine zentrale Größe in der Strömungslehre. Er ist der Anteil der
auf einen umströmten Körper wirkenden Kraft, der senkrecht zur
Anströmrichtung steht. Der dynamische Auftrieb ist das physikalische
Grundprinzip für das natürliche Fliegen von Vögeln, Fledertieren und
Fluginsekten sowie die technische Funktion der Tragflächen von
Flugzeugen, der Propeller, der Schiffsschrauben, der Schratsegel und der
Turbinen."
(wikipedia. "Statischer Auftrieb")
"Unendlich" ist keine reelle Zahl, also ist "unendlich hoch 2" schlicht nicht definiert.
lim n²
n->Unendlich
das ist ebenfalls nicht definiert, da die Folge (n²) nicht konvergiert. Nimmt man obiges als uneigentlichen Grenzwert, dann ist das gleich unendlich.
1/(n^2) kleiner als 1/n
Du must schon wissen, was du willst. Obiges sind erstmal Terme. Setzt man für beide dasselbe n ein, dann ist jeweils 1/(n^2) kleiner als 1/n. Was nicht hindert, dass die Grenzwerte gleich sind.
Verwechsle nicht Terme mit Folgen, und nicht Folgenglieder mit Grenzwerten und nicht "echte" Grenzwerte mit uneigentlichen Grenzwerten.
Das hat weder was mit einem "Zählanfang" noch mit "nichts" zu tun.
Es ist leicht zu sehen, dass a^0=1 ist (bzw so definiert werden sollte), denn:
1 = a^n / a^n = a^(n-n) = a^0
Dies Argument gilt natürlich nur für a ungleich 0, sonst hätten wir oben eine 0 im Nenner.
Das schließt natürlich noch nicht aus, dass es evt einen anderen Weg geben könnte, aber:
0^b = 0 für alle b ungleich 0.
a^0 = 1 für alles a ungleich 0
Man kann hier schon ahnen, dass es zumindest problematisch ist, im Ausdruck a^b sowohl a als auch b gleich 0 zu setzen (bzw gegen 0 gehen zu lassen).
Tatsächlich kann man nachweisen, dass a^b jeden beliebigen Wert annehmen kann, wenn a und b beide gegen 0 gehen. Das wieder heißt, dass 0^0 ein sog. unbestimmter Ausdruck ist.
(Zuweilen wird 0^0 dennoch definiert, aber nur aus Gründen der Zweckmäßigkeit, an und für sich ist 0^0 unbestimmt)
Nullstellen sind die Stellen ("x-Werte") bei denen der Funktionswert 0 ist.
f(x) = 0 ---> x ist eine Nullstelle.
Normalerweise ist dir eine Funktion durch eine Funktionsgleichung gegeben, etwa f(x)=x²-4. Um die Nullstellen zu betimmen, nimmt man den Funktionsterm (im Beispiel: x²-4) und setzt diesen gleich 0. Daraus entsteht eine Gleichung. Im Beispiel wäre das:
0 = x²-4
Die Lösungsmenge dieser Gleichung ({-2, 2}) ist die Menge der Nullstellen der Funktion.
Was man also sagen kann: Die Menge der Nullstellen einer Funktion f ist gleich der Lösungsmenge der Gleichung f(x)=0.
Ja. Schon im vorletzten Jahrhundert hat sich Friedrich Engels drüber lustig gemacht, dass die Wortbedeutung hier eigentlich verdreht ist.
Bei "der beste" kann ich mich nicht entscheiden ... "Alien", "Interstellar", "Minority Report" , ... unterschiedliche Themen, alle genannten (und noch ein paar) kämen für eine Bestnote in Frage.
Beim schlechtesten freilich kann es nur einen geben: "Plan 9 from Outer Space" (deutsch: "Plan 9 aus dem Weltall") von dem legendären Regisseur Ed Wood.
Das hab ich früher, in meinem Studium, oft gemacht, dass ich in fachfremde Vorlesungen gegangen bin; aus reinem Interesse, nicht wg "Scheinen" oder Prüfungen.
Und zwischen 1 und 2 gibt es unendlich viele Zahlen, aber wie kann das sein, wenn unendlich bedeutet, dass es niemals endet?
Du wirfts da was durcheinander. Das Intervall [1;2] ist natürlich begrenzt. Eben durch 1 und 2. Anschaulich: Betrachtet als Strecke auf der Zahlengeraden hat das Intervall die Länge 1. Das ist ganz und gar nicht unendlich. Aber die "Anzahl" (besser: die Menge) der Zahlen zwischen 1 und 2, die ist unendlich. Wollte man versuchen, diese Zahlen aufzulisten, dann hätte so eine Liste keine Ende: sie wäre un-endlich.
Diese "Liste" ist es, die kein Ende hat.
Das geht nicht.
Höchstens eine Reihenentwicklung wie in der Antwort von stekum ist möglich, das geht aber eindeutig über den Schulstoff hinaus.
Oder du verwendest statt "hoch 1/2" das Wurzelzeichen. Das wäre dann aber nur eine andere Schreibweise, keine Umformung.
Eine Umformung wie bei den binomischen Formeln ist jedenfalls nicht möglich.
