Frage von Wissen321741, 227

Kreisberechnungen ohne Pi?

Kann mit einer Formel die Fläche eines Kreises berechnen, die kein Pi enthält?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 137

Ich habe gerade etwas herumgerechnet und habe eine Formel für den Flächeninhalt eines Kreises gefunden, die ohne Pi auskommt.

Sie entspricht der Fläche unter der Kurve einer Wurzelfunktion.

Ich habe die Formel mal mit Latex nachgestellt und als Bild angefügt.

Sie berechnet den Flächeninhalt eines Kreises mit dem Radius r.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

PS: Ist r = 1, so entspricht das Integral dem Flächeninhalt des Einheitskreises und somit π.

Kommentar von Roderic ,

Respekt! Willi.

Ich hab mir mal erlaubt, deinen genialen Einfall etwas zu "verfeinern".

Kommentar von Willibergi ,

Kein Problem. ;)

LG Willibergi 

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 122

https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates

Es gibt ein klassisches Beispiel: die Möndchen des Hippokrates.
Aber damit wird natürlich nicht wirklich π umgangen, sondern es erweist sich, dass die Möndchen trotz ihrer kreisähnlichen Form eine rational errechenbare Fläche ausmachen. 
Ziemlich verblüffend!

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 57

Es gibt über 100 Algorithmen für Pi:

http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm

Jede dieser kann "Dein Pi" EXAKT ersetzen (keine Näherungsformel)!

Jeder der die Integralrechnung und die Halbkreisformel kennt, kommt beim rechten oberen Viertel des Einheitskreis auf

Integral Wurzel(1-x²) dx von 0 bis 1 -> Ergibt Pi/4 oder anders:

das integriert -> ergibt:

Pi = 2*asin(1)

Pi = 4 * atan(1)

Die vielen Summen- oder Produktformeln werden viele nicht verstehen...

aber unter Punkt 5 weitere (alles mit SI-Einheit und nicht die veraltete Einheit °):

Pi=acos(-1)

Pi = 4/binom(1,1/2) { https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient , da aus Fakultät und die wiederum aus Gammafunktion}

Pi = acos(Phi/2)*5=acos([(1+sqrt(5))/2]/2)*5

...

Kommentar von hypergerd ,

Ich glaube, dass viele das noch nicht verstanden haben, deshalb eine Auflistung von Kreis-Flächenformeln, die alle ohne Pi auskommen:

A= 2 * Integral Wurzel(r²-x²) dx, x=-r...r

A= acos(-1)*r²

A= 2*asin(1) *r² = 4 * atan(1) * r²

A= acos([(1+sqrt(5))/2]/2)*5 * r²

A= U/d *r² = U*r/2

A= 4*r² * Integral 1/(1+x²) dx, x=0...1

selbst eine Primzahlensummen-Grenzwert ist dabei...

Antwort
von ac1000, 10

Wenn r=1, dann ist der Flächeninhalt π. Eine Formel, die den Inhalt eines Kreises liefert, muss für r=1 also π ergeben, was wieder heißt, dass π in irgendeiner Weise da drin stecken muss. Dies kann aber auch in "versteckter" Form sein, wie in dem Integral von Willibergi; dh, π muss nicht unbedingt explizit drin stehen. Aber es mus rauskommen.








Antwort
von precursor, 88

Pi kann näherungsweise durch einen Bruch ersetzt werden, und zwar durch 355 / 113

Es gibt noch bessere Näherungen durch Brüche die allerdings dann deutlich größere Zahlen in Zähler und Nenner verwenden.

A = (355 / 113) * r ^ 2

Der Fehler liegt unter 0,00001 %

Kommentar von hypergerd ,

Diese Näherungen sind 1000 Jahre alt. Heute kennt man Bruch-Funktionen die gegen Pi konvergieren: siehe mein LINK Punkt 6.

Damit kann man beliebig genaue Brüche konstruieren: 

So stimmt x/y=226517876251716162692149071050771828410490449602080890536575346 / 72102879408277751642507260419334203501590758230297414247167791 mit Pi auf 86 Stellen überein!

Kommentar von precursor ,

Vielen Dank für deinen hilfreichen Kommentar !

Allerdings hatte ich folgendes in meiner Antwort geschrieben -->

Es gibt noch bessere Näherungen durch Brüche DIE ALLERDINGS DANN DEUTLICH GRÖSSERE ZAHLEN IN ZÄHLER UND NENNER VERWENDEN.

Falls das nicht ausreichend klar geworden sein sollte, meinte ich damit, dass es dann Zahlen sind die mehr als jeweils 3 Ziffern lang sind.

355 besteht aus 3 Ziffern und 113 besteht aus 3 Ziffern.

Antwort
von offeltoffel, 119

Wenn ich mich gerade bei

Pi * r² = X * 2*r*Pi 

nicht verrechnet habe, dann musst du den Umfang (U) mit r multiplizieren und durch 2 teilen.

Wenn du aber auch keine Info zum Radius oder Umfang hast, wird es schwer. Du brauchst mindestens eine Größe, die über Pi definiert ist, um die Fläche zu bekommen.

Wozu solltest du das brauchen?

Antwort
von clemensw, 116

JA.

Stichwort Monte-Carlo-Methode.

Kommentar von LeCux ,

Aber die ist für die Näherungsberechnung von Pi :)

Kommentar von hypergerd ,

Doch, auch diese Definition ist ein Ersatz für Pi:
siehe http://www.gerdlamprecht.de/Kreiszahl.htm
Punkt §4f:
mathematisch: 1/N*sum (RandomReal[{0,1}]²+RandomReal[{0,1}]²)<=1,k=1...N mit N gegen UNENDLICH

also:
Pi=lim 4/N*sum [(RandomReal[{0,1}]²+RandomReal[{0,1}]²)<=1] ,k=1...N mit N gegen UNENDLICH

Da das (Flächen-)Integral von sqrt(1²-x²) die bekannte asin-Funktion ergibt, läuft diese Frage auf die bekannte Formel hinaus:
Pi=2 * asin(1) eine Art numerischer Integration mit Umweg über Zufallsvariablen

Viele verstehen nicht, dass der Grenzwert auch von Zufalls-Funktionen gegen eine exakte Konstante verläuft -> natürlich nur beim ECHTEN Zufallsgenerator (einer ohne Periode).

Kommentar von Roderic ,

Aber die ist für die Näherungsberechnung von Pi

Die Tatsache, daß sie irrational ist, führt zwangsläufig dazu, daß Näherungen die einzigen Präsentationen der Zahl Pi sind, die in diesem (endlichen) Universum existieren.

Eine absolut genaue Zahlenangabe für Pi kann es nicht geben.

Kommentar von clemensw ,

Jep, du hast es verstanden.

Und für die anderen: Selbst wenn jemand jede Sekunde seit dem Urknall eine Ziffer der Zahl  Pi aufgeschrieben hätte, dann wäre er bis heute kein Stück näher daran, diese Aufgabe zu beenden. 

PI hat UN-END-LICH viele Nachkommastellen. 

(Ok, wir können aber zumindest ausschließen, das jemand die Schreibarbeit gemacht hat - ansonsten wäre das Universum eine Müllkippe aus Altpapier und leeren Stiften...)

Kommentar von clemensw ,

Pi ist irrational und transzendental - somit ist JEDE numerische Angabe des Wertes von Pi nur eine Näherung.

Auch die von Hypergerd genannte Summenformel kann man in endlicher Zeit nur über endliche Glieder berechnen - ist also auch nur eine Näherung.

Kommentar von LeCux ,

Natürlich gibt es Pi - nur aufschreiben kann man es als Dezimalzahl nicht. Also schreibt man Pi und alles ist gut. Die Wurzel aus -1 ist auch so was feines.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 95

Stelle dir dazu erst einmal die Frage:

Was ist Pi?

Pi ist das Verhältnis (der Quotient) zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises.

π = U/d

Kennst du also Umfang und Durchmesser bzw. Umfang und Radius des Kreises, kannst du einfach dessen Fläche berechnen:

A = U*r/2

Pi ist also mit gegebenen Informationen gar nicht nötig. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Kommentar von Wissen321741 ,

Diese Formeln kenne ich alle, aber jemand meinte das es auch anders geht!Da habe ich nachgefragt, gibt es denn auch andere Berechnungsmögluchkeiten?

Kommentar von Willibergi ,

Nein, die Fläche eines Kreises lässt sich ohne diese Informationen nicht ohne Weiteres berechnen.

Siehe auch Quadratur des Kreises. ^^

LG Willibergi 

Antwort
von kindgottes92, 105

Wenn du den Umfang gegeben hast, dann ja.

Warum willst du eigentlich Pi vermeiden?

Antwort
von Roderic, 81

...oder so:

Kommentar von Wissen321741 ,

Ich verlasse mich mal drauf, das es richtig ist.

Kommentar von hypergerd ,

Ja, ist richtig. Siehe mein LINK unter Punkt 1 -> ergibt 2*asin(1)=Pi

Antwort
von LeCux, 119

Nein, das wird schwierig.

Kommentar von gerolsteiner06 ,

ersetze "schwierig" durch "unmöglich!"

Kommentar von oetschai ,

warum unmöglich?

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