Frage von Blackskater, 174

Warum ist Null hoch Null undefiniert?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 95

Hör mal nicht auf die Argumente mit dem Nichts. Null ist nicht Nichts, sondern nur eine besondere Zahl mit bestimmten Eigenschaften. Gerade beim Multiplizieren ist ein so genanntes leeres Produkt gerne mal vom Wert 1.

Du kannst auch 0 * 0 = 0 multiplizieren, nur umkehrt geht es nicht.
x / 0 ist verboten, weil die Rückrechnung nicht sinnvoll möglich ist.
2 * 3 = 6       zurück:      6 : 3 = 2
0 * 4 = 0       zurück:      0 : 4 = 0           das geht auch noch
4 * 0 = 0       zurück:      0 : 0 = ?           denn das könnte jetzt jede Zahl sein

Mit 0º ist es ähnlich.

Aber wie gesagt, möglich ist die Menge { 0 },
erst die Menge {  } ist wirklich leer!

---

0º unterscheidet sich von x/0 insofern, als das zweite wirklich verboten ist. 0º ist nur undefiniert. Das hat zur Folge, dass es mathematische Untersuchungen gibt, bei denen 0º doch definiert wird, manchmal als 0, manchmal als 1. Das hat dann bestimmte Vereinheitlichungszwecke, muss aber dazudefiniert werden.

Antwort
von karinili, 100

Alles hoch Null ist per Definition 1.

Allerdings wird Null hoch jeder beliebigen, natürlichen (!) Zahl größer als 1 immer Null bleiben, da eine Multiplikation immer Null ergibt.

Das Problem, das hierbei entsteht ist, dass hoch 1, ja bedeutet, die Zahl ist einmal vorhanden. Hoch null würde bedeuten, dass die Zahl Null mal vorhanden ist. Bei jeder anderen Zahl ist aber ein Wert vorhanden, deshalb auch die Definition mit 1 (was dann auch den Übergang zu negativen Potenzen sehr einfach macht).

Wenn Nichts (Null) Null mal vorhanden ist, hast du aber ein mathematisches Schwarzes Loch. Also undefiniert.

Genauso wie eben eine Division durch Nichts (null) undefiniert ist ;)


Antwort
von ac1000, 40

Das hat weder was mit einem "Zählanfang" noch mit "nichts" zu tun.

Es ist leicht zu sehen, dass a^0=1 ist (bzw so definiert werden sollte), denn:

1 = a^n / a^n = a^(n-n) = a^0

Dies Argument gilt natürlich nur für a ungleich 0, sonst hätten wir oben eine 0 im Nenner.

Das schließt natürlich noch nicht aus, dass es evt einen anderen Weg geben könnte, aber:

0^b = 0  für alle b ungleich 0.

a^0 = 1 für alles a ungleich 0

Man kann hier schon ahnen, dass es zumindest problematisch ist, im Ausdruck a^b sowohl a als auch b gleich 0 zu setzen (bzw gegen 0 gehen zu lassen).

Tatsächlich kann man nachweisen, dass a^b jeden beliebigen Wert annehmen kann, wenn a und b beide gegen 0 gehen. Das wieder heißt, dass 0^0 ein sog. unbestimmter Ausdruck ist.

(Zuweilen wird 0^0 dennoch definiert, aber nur aus Gründen der Zweckmäßigkeit, an und für sich ist 0^0 unbestimmt)


Kommentar von ac1000 ,

0^b = 0  für alle b ungleich 0.

Muss natürlich heißen:

0^b = 0  für alle b größer als 0.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 25

y = a ^ b

b = log _ a (y)

log _ a (y) = ln(y) / ln(a)

b = ln(y) / ln(a)

Wenn a = 0 wäre, dann würde es ln(0) heißen, aber der logarithmus naturalis, oder der logarithmus zu einer anderen Basis, ist für Null nicht definiert.

Man könnte den rechtsseitigen Limes betrachten und käme dann auf - ∞

b wäre dann b = 0

Das Problem dabei wäre, dass b = 0 für mehrdeutige / vielfältige Werte von y den Wert b = 0 annehmen würde.

Antwort
von lks72, 24

Es ist Definitionssache, aber man tut gut daran, 0^0 = 1 zu setzen (also wirklich a^0 = 1 für alle a aus jeder Körperstruktur setzen).

Man sieht dies am besten an der Taylorentwicklung der Exponentialfunktion

e^x = x^0 / 0! + x^1 / 1! + x^2 / 2! + ...

Für e^0 sollte dies 1 ergeben, also müsste, damit das klappt, in der obigen Summe 0^0 = 1 sein.

Kommentar von maximilianus7 ,

seh ich nicht so: die taylorreihe kannst du genauso gut mit 1 anfangen lassen - wie üblich - mit dem ausdruck x^0 / 0! für 1 wäre die reihe für x=0 schlicht undefiniert.

Kommentar von lks72 ,

Das ist nicht richtig, die Taylorreihe der exp Funktion ist immer ab k=0 definiert, so steht es in jedem Buch, und anders ist es auch Quatsch. Würdest du den Nullerterm weglassen, wäre e^0 = 0, denn alle Summanden ab k=1 sind 0, der richtige Wert kommt hier allein durch 0^0 = 1 zustande

Antwort
von UlrichNagel, 41

Das ist ganz einfach! Der Zählanfang in der Punktrechnung beginnt bei 1! Null ist der Zählanfang in der Strichrechnung! Deswegen werden auch in der Strichrechnung Erweiterungen mit 0 gemacht (quadratische Ergänzung) und in der Punktrechnung mit 1 (Bruch wird mit 1 erweitert z.B. 3/3 = 1) !!

Antwort
von tveni, 31


Hier ist es recht schön erklärt ;)
obwohl die Antwort von karinili schon recht aussagekräftig ist :D

Antwort
von Chudder666, 37

Was gibt wohl nichts hoch nichts bzw nichts mal nichts! Richtig: NICHTS!!!

Kommentar von Comment0815 ,

Nein, eben nicht. Sonst wäre es ja definiert.

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