Was ist der Herleitung für das Ergebnis aus Einer Zahl hoch null?



... für alle Zahlen a.

(Hinweis: Manche Mathematiker lassen 0⁰ lieber undefiniert, statt den Wert 1 zuzuordnen. Aber viele Mathematiker definieren auch 0⁰ = 1.)

Edit: Ahh, ok. Ich habe nicht genau gelesen und die Frage nach der „Herleitung“ komplett übersehen. Ich ergänze gleich noch meine Antwort.

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Man möchte, dass die Formel...



... gilt. Entsprechend muss dann...



... sein. Für a ≠ 0 kann man dann (zumindest in nullteilerfreien Ringen) folgern, dass a⁰ gleich dem neutralen Element der Multiplikation ist. Und dieses neutrale Element der Multiplikation wird mit 1 bezeichnet. Daher ist dann...



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Eine einfache Herleitung, wie man es Schülern in der Schule klar machen kann, bzw. wie Potenzen mit ganzen Zahlen als Exponenten überhaupt aufgebaut sind...









[...]

Von einer Zeile zur nächsten wird mit a multipliziert. Die entsprechende Gegenoperation, um von einer Zeile zur vorigen Zeile zu kommen, ist (zumindest für a ≠ 0) die Division durch a.

Wie lautet nun die Zeile vor der Zeile „a¹ = a“? Auf der linken Seite steht offensichtlich a⁰ auf der rechten Seite muss man (zumindest für a ≠ 0) a/a erhalten, was gleich 1 ist. Also...



[Das kann man dann entsprechend noch weiterführen um herauszufinden, wie die Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten aussehen. Also im nächsten Schritt dann beispielsweise: a⁻¹ = 1/a]

Hallo.

Die Herleitung ergibt sich aus den Potenzgesetzen:



Wenn wir nun eine beliebige Zahl durch sich selbst teilen, bekommen wir immer 1:



anders dargestellt:



Daher die Herleitung, dass x^0 immer 1 ergibt. Da der Exponent 0 sich eben so darstellt, dass man eine beliebige Zahl durch sich selbst teilt.

Allerdings gibt es hierbei auch ein Problem. Was ergibt 0^0? Hierzu gibt es unterschiedliche Meinungen, die sogar 0^0=1 erlauben, obwohl eine Division durch 0 schlichtweg nicht erlaubt ist.

Herleitung aus den Potenzgesetzen

a^m * a^n = a^(m+n)

n kann auch negativ sein, dh man setzt zB m=1, n=-1

a^1 * a^(-1) = a^(1-1)

a * 1/a = a^0

a/a = a^0

1 = a^0

a^0 = a^(b-b) = a^b/a^b = 1

Sonderverfahren für a = 0.