Frage von LittleThings254, 179

Ist "unendlich hoch 2" größer als "unendlich"?

Hallo :) Bin grade am recherchieren, was mit im mathematischen Sinn "unendlich" ist, also wie man damit rechnet etc, da mich das grade fasziniert und interessiert.

Hab schon unglaublich viel rausgefunden, aber auf 2 Fragen leider noch nichts...

Ich nehme mal n für "unendlich"

Ist n^2 größer als n? Da n^2 ja schneller wächst...

Jedoch ist bei beidem der Grenzwert 0...

Und im Umkehrschluss: Ist 1/(n^2) kleiner als 1/n?

Hier ist bei beidem der Grenzwert n...

Bitte mit einem Beispiel bei Erklärungen, da ich als 10. Klässlerin es dann besser verstehen kann :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 65

Es kommt sehr darauf an, welche Art von Unendlichkeiten man betrachtet.

Wenn man bei 1/x nicht jedesmal den Sonderfall x=0 berücksichtigen will, kann man ein Element ∞ hinzufügen: ℝ ∪ {∞}. Für ∞ gilt (r ist eine beliebige reelle Zahl):

r + ∞ = ∞
r * ∞ = ∞,   falls r ≠ 0
r / ∞ = 0
r / 0 = ∞,   falls r ≠ 0
∞ * ∞ = ∞

Allerdings ist es nicht möglich, Ausdrücke wie 0 * ∞, ∞ / ∞, ∞ - ∞, ∞ + ∞ sinnvoll zu definieren, sodass dieses Element eine Sonderstellung hat.

(Damit du das Stichwort schon mal gehört hast: diese Erweiterung gehört zur Theorie der meromorphen Funktionen - das sind Funktionen, die ∞ als Funktionswert zulassen.)

Hier ist übrigens ∞² = ∞. Das ist aber nicht überall der Fall.

Wir können die "Kardinalzahlen" betrachten. (Eine Kardinalzahl beantwortet die Frage "wie viele?")

Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn eine "bijektive" Abbildung zwischen ihnen existiert, d. h. M1 ist gleichmächtig mit M2, wenn es eine Funktion f: M1 -> M2 und eine Funktion g: M2 -> M1 gibt mit

f(x1) ist für alle x1 aus M1 definiert
g(x2) ist für alle x2 aus M2 definiert

f(x1) = f(y1) => x1 = y1   (für alle x1, y1 aus M1)
g(x2) = g(y2) => x2 = y2   (für alle x2, y2 aus M2)

g(f(x1)) = x1, f(g(x2)) = x2   (für alle x1 aus M1, für alle x2 aus M2)

Die "kleinste" unendliche Menge ist die Menge der natürlichen Zahlen. ("am kleinsten" heißt hier, dass jede unendliche Menge eine Teilmenge enthält, die gleichmächtig der Menge der natürlichen Zahlen ist.)

Die Mächtigkeit von ℕ nennt man aber nicht ∞, sondern ℵ₀ (sprich "alef-null"), vermutlich um deutlich zu machen, dass man hier eine andere Art von Zahlen hat als die reellen Zahlen (wenn auch keine wesentlich andere Art als die natürlichen Zahlen).

Allerdings ist (ℵ₀)²= ℵ₀, wie man sich z. B. über das Diagonalverfahren klar machen kann.

Dann gibt es die Ordinalzahlen (Antwort auf die Frage "das wievielte Element?")

Hier können wir ein Element X nehmen, und sagen, X soll nach allen natürlichen Zahlen kommen. Wir erreichen X nicht in endlich vielen Schritten, aber das ist in mathematischen Theorien, die sich mit Unendlichkeiten beschäftigen, ja nicht wichtig.

In der Menge ℕ ∪ {X} kommt das Element X an einer Stelle, die hinter jeder natürlichen Zahl liegt; wir ordnen dem Element X die Ordinalzahl ω zu. (Schon wieder ein anderes Zeichen für unendlich.) ω ist die kleinste "transfinite" Ordinalzahl. (Hier spricht man statt von "unendlich" von "transfinit".)

Man kann ℕ ∪ {X,Y} nehmen, und sagen, dass wie vorher X nach jeder natürlichen Zahl kommt und Y nach X. Y hat dann die Ordinalzahl ω+1. (Offensichtlich ist ω+1 > ω. Im Gegensatz dazu ist ∞+1 = ∞ und ℵ₀+1 = ℵ₀.)

Wir können auch die Menge {a1, a2, ...} ∪ {b1, b2, ...} nehmen, wo jedes a_i vor jedem b_i liegen soll. Wir erhalten die Ordinalzahl ω*2. (Warum nicht 2*ω, verstehe ich auch nicht so ganz, aber egal.)

Wenn wir die Menge aller Paare natürlicher Zahlen nehmen {(1,1), (1,2), ..., (2,1), (2,2), ..., ...} und sie zuerst nach dem ersten Element und danach nach dem zweiten Element sortieren, erhalten wir die Ordinalzahl ω². Hier ist das Quadrat von "unendlich" nicht gleich "unendlich": ω² > ω.

Weitere Zahlenmengen mit unendlichen Elementen sind die hyperreellen und surrealen Zahlen. Die hyperreellen Zahlen sind sehr ähnlich dem Körper der rationalen Funktionen in ℝ, also grob gesagt dem Körper der Brüche von Polynomen: (a0 + a1 X + a2 X² + a3 X³ + ... + am X^m) / (b0 + b1 X + b2 X² + b3 X³ + ... + bn X^n)

(wenn man Polynomringe u. ä. betrachtet, nimmt man gern ein großes X statt eines kleinen x. Warum auch immer.)

Dabei sagt man, das X größer sein soll als jede reelle Zahl.

Dann ist X das "kleinste" unendliche Element. Hier ist wieder X² > X.

Das sind die zahlenähnlichen Unendlichkeiten, die mir im Moment einfallen.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 52

Im Bereich der normalen mathematischen Betrachtungen stellt man sich die Frage: Kann ich die Zahlenmenge, die ich gerade begucke, 1:1 auf ℕ abbilden, anders gefragt: Kann ich sie einfach zählen?

Und da ist es so, dass du eineindeutig jeder geraden Zahl, aber auch jeder durch 10 teilbaren Zahl und auch jeder quadrierten Zahl eine Zählzahl zuordnen kannst.

Insofern sind diese Unendlichkeiten alle gleich groß, besser "gleich mächtig", wie man in der Mengenlehre sagt.

Bevor du jetzt enttäuscht bist:'
Erst wenn man bei einer Zahlenmenge zwischen zwei solche gezählte Zahlen mindestens noch eine dazwischenkriegen kann, hat man eine größere Unendlichkeit erreicht. Soche Mengen sind dann überabzählbar. Das gilt beispielsweise für die irrationalen Zahlen. (√2, √3 usw.)

Kommentar von LittleThings254 ,

Okay, danke! 

Kommentar von PWolff ,

Sorry, die Menge der algebraischen Zahlen (wozu alle Wurzeln gehören) ist immer noch abzählbar unendlich, also gleichmächtig mit ℕ. Erst ℝ ist echt mächtiger.

Kommentar von Volens ,

Wie das erste Diagonalargument von Cantor zeigt, ist die Menge der rationalen Zahlen abzählbar; es gibt also eine Folge rationaler Zahlen, die jede rationale Zahl enthält. Cantors zweites Diagonalargument beweist, dass es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt. Das bedeutet aber gleichzeitig, dass es überabzählbar viele irrationale Zahlen geben muss; denn andernfalls wären die reellen Zahlen als Vereinigung zweier abzählbarer Mengen selbst abzählbar.

Antwort
von ac1000, 73

"Unendlich" ist keine reelle Zahl, also ist "unendlich hoch 2" schlicht nicht definiert.

lim n²

n->Unendlich

das ist ebenfalls nicht definiert, da die Folge (n²) nicht konvergiert. Nimmt man obiges als uneigentlichen Grenzwert, dann ist das gleich unendlich.


1/(n^2) kleiner als 1/n


Du must schon wissen, was du willst. Obiges sind erstmal Terme. Setzt man für beide dasselbe n ein, dann ist jeweils 1/(n^2) kleiner als 1/n. Was nicht hindert, dass die Grenzwerte gleich sind.

Verwechsle nicht Terme mit Folgen, und nicht Folgenglieder mit Grenzwerten und nicht "echte" Grenzwerte mit uneigentlichen Grenzwerten.

Kommentar von LittleThings254 ,

Danke :) Die Antwort hat mir echt geholfen, das besser zu verstehen :) Das Problem ist, dass wir im Unterricht grade am Anfang vom Thema Folgen sind und dadurch dann die Frage aufkam. Da mir der wehrte Herr Mathelehrer auf meine Frage keine Antwort geben konnte (und er auch sonst das ganze nicht so toll erklärt hat), hab ich mich also selbst erkundigen wollen. Vieles hat sich dabei schon geklärt, also vonwegen "unendlich ist keine reelle Zahl", "0*unendlich ist nicht 0" etc. Das mit den uneigentlichen Grenzwerten wusste ich nicht, das werde ich gleich nochmal nachschauen (ja, wir haben einen tollen Lehrer, ich weiß).

Gehört unendlich überhaupt zu irgendeiner Zahlenmenge? Wenn ja, zu welcher?

Antwort
von Roderic, 34

Gehört unendlich überhaupt zu irgendeiner Zahlenmenge?

Nein. Und genau deswegen sind arithmetische Operationen mit unendlich nicht zugelassen.

Unendlich ist in der Mathematik auf zweierlei Weise definiert:

Einmal als ein (uneigentlicher) Grenzwert und einmal als die Mächtigkeit einer Menge.

Grenzwerte miteinander vergleichen darf man nur, wenn sie endlich sind.

Die Kardinalät zweier Mengen darf man trivial nur dann miteinander vergleichen, wenn die Mengen endlich sind. Bei unendlichen Mengen muss man axiomatisch herangehen.

Die Kardinalität einer Menge ist genau dann kleiner als die Kardinalität einer anderen, wenn die erste Menge eine

echte!! Untermenge

der anderen ist.

Antwort
von David3103, 24

Da Unendlich nicht zur Definitionsmenge der Reellen Zahlen gehört, kannst du sie auch nicht als "Zahl" behandeln.

Es gilt also: ∞² = ∞.

Antwort
von Georg63, 72

Unendlich ist keine Zahl, mit der du rechnen kannst.

Antwort
von Kreuzzzfeuer, 56

Also ich schätze du hast grad Reihen/Partialfolgesummen. (Ich bin auch Klasse 10).

Tatsächlich ist n = n² für lim n --> unendlich. (Google Hilberts Hotel, da wird das verdeutlicht ^^)

1/n² und 1/n sind bekanntlich Nullfolgen und demnach auch gleich für lim n --> unendlich.

Kommentar von LittleThings254 ,

Ok, also ist weder das eine größer, noch das andere kleiner? Danke und ja, haben wir auch grade :D Nur ist unser Lehrer teilweise nicht so ganz fähig, ein bisschen anspruchsvollere Fragen zu beantworten -.-

Kommentar von Kreuzzzfeuer ,

Aber bedenke, dass hier Limeswerte verglichen werden und nicht konkrete n. In ner andren Antwort steht, dass für konkrete n das natürlich unterschiedlich ist, was korrekt ist. Auf welche Schule gehst du denn? :)

Kommentar von LittleThings254 ,

Gymnasium :) Und ich bin auch eine der besseren Schülerinnen, also nicht dass man hier denkt, dass ich einfach zu blöd bin :D Dass es für konkrete n unterschiedlich ist, ist mir klar, aber unendlich ist nunmal nicht so ganz konkret :'D Nur interessiere ich mich für sowas und wenn der Lehrer sagt, dass das einfach so ist und man das akzeptieren muss, geb ich keine Ruhe, bis ich eine Erklärung hab. Genau so ist es auch mit "man darf nicht durch 0 dividieren". Schlussendlich hab ich rausgefunden, dass das so nicht stimmt, oder aber auch, dass es Zahlen gibt, die man hoch rechnet und dann ein negatives Ergebnis rauskommt etc.

Kommentar von Kreuzzzfeuer ,

ja, das ist logisch. Also wenn du Interesse an Mathe hast, ich wohne in Thüringen und da gibt es so einen Matheverein an der Uni Jena, der solche Leute fördert. Die machen auch zwei mal im Jahr ein Seminar (wo ich aber noch nie hingegangen bin, aber eine Freundin aus Berlin geht da hin und im Herbst komm ich vllt auch ^^). Da findest du viele Kontakte mit Mathestudenten und Professoren, die dir auf jeden Fall weiterhelfen ("Wurzel" Verein googlen).

Kommentar von Kreuzzzfeuer ,

Also du kannst denen eine Mail schreiben und die antworten dir sicher! :)

Kommentar von LittleThings254 ,

Okay :)

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