Stimmt die Erklärung aus Schicksal ist ein mieser Verräter für Achilles und die Schildkröte?
Ich finde es ein wenig seltsam hier eine Frage zu stellen, die eine solch mathematische Bewandnis hat ... eh ... Es geht um das Buch das Schicksal ist ein mieser Verräter und das Gedankenexperiment mit Achilles und der Schildkröte. Wenn ich etwas lese, will ich es auch verstehen, also habe ich mich informiert und auch verstanden wie das Paradoxon aufgelöst werden kann ... Also, wer das Paradoxon kennt ... die Antwort ist ja, dass Achilles für diese unendliche Strecke nicht unendlich viel Zeit braucht und auch wenn unendlich viele Werte addiert werden, kommt man nicht auf einen unendlich hohen Wert. Wenn also all diese kleinen Zahlen, also die Vorsprünge der Schildkröte zusammengerechnet werden kommt man näherungsweise an den Wert – den sogenannten Grenzwert – an dem Achilles die Schildkröte einholt. Soweit ist das auch alles klar, nur in dem Buch wurde es dann so erklärt (wenn auch nur kurz und nicht sonderlich ausführlich), dass manche Unendlichkeiten größer sind als andere Unendlichkeiten. Was auch stimmt (die natürlichen Zahlen sind unendlich, aber zählbar, die reellen Zahlen sind auch unendlich, aber nicht zählbar, weshalb es mehr reelle Zahlen gibt als natürliche Zahlen), ich verstehe nur nicht wie das mit dem Gedankenexperiment von Achilles zusammen hängt ... also entweder liege ich völlig falsch und habe alles falsch verstanden (was ich nicht hoffe) oder mir entgeht einfach etwas oder im Buch steht es falsch. Ich hoffe diese Frage findet Leute, die bekloppt genug sind, sie beantworten zu können ;) Eigentlich weiß ich selbst nicht, warum es mich so interessiert, aber ich versuche es zu verstehen und verzweifle ein wenig daran.^^
4 Antworten
ich denke es ist folgendes gemeint:
die immer größer werdende summe (unendlich viele summanden im grenzfall) ist die eine "unendlichkeit" und die immer "kleiner" (beudetet hier immer näher zur 0 strebend) werdenden summanden sind die andere "unendlichkeit"
kleines bisschen mathematischer: im unendlichen hat man summanden der größe 0, aber unendliche viele davon. die frage ist nun, was ist unendlich * 0 ???
die antwort in diesem fall ist: eine endliche zahl.
betrachte die folge 1/n * n. diese hat immer den wert 1, weil sich das n rauskürzt. (schlage nach was eine folge ist, falls du das nicht weißt). ich kann dies aber auch in 2 teilfolgen zerlegen. einmal das 1/n, welches beliebig "klein" (hier wieder: nah an die 0) wird, andererseits in das n, welches beliebig groß wird. hier ist also 0 * unendlich = 1.
es fällt nicht schwer andere folgen zu basteln, in denen alle anderen erdenklichen reellen zahlen herauskommen oder sogar +/-unendlich.
was also gemeint sein könnte ist, dass unendlich * 0 verschiedene ergebnisse hat, je nach dem, auf welche art und weise die 0 und das unendlich angestrebt wurden. dabei ist sowohl das unendlich als auch die 0 nur ein grenzwert, der erst im unendlichen "angenommen" wird.
in diesem fall kämpft wie gesagt die unendliche summation gegen die kleiner werdenden summanden.
ich schätze dazu mal die summation ab. wenn ich die ersten 89649263 betrachte (endlich viele), dann kommt selbstverständlich auch ein endlicher summenwert heraus, EGAL über was ich summiere. auch wenn die schritte größer werden würden.
da die schritte immer kleiner werden, kann ich abschätzen, dass ab irgendeinem schritt alle schritte kleiner sind als 1/10000000. das geht wenn ich erst spätere schritte betrachte dann auch mit einer beliebigen zahl c nahe der 0. irgendwann sind alle folgenden schritte kleiner als c, solange ich nur hinreichend späte schritte betrachte.
damit ist die summe kleiner oder gleich dem wert c * anzahl-der-restlichen-summanden, da die schritte ja nur noch kleiner werden würden. da aber unendlich - endliche-zahl immernoch unendlich ist, haben wir auch mehr als C viele schritte, wobei C eine beliebig große zahl ist.
damit haben wir ein c, welches gegen 0 strebt, und ein C welches gegen unendlich strebt. die frage ist dann, was ist c * C = " 0 * unendlich "
(1) Zu deinem Text: Achilles legt keineswegs eine unendliche Strecke zurück, wie du schreibst. Sondern er legt ein endliche Strecke zurück, die das Paradox in unendlich viele Teilstrecken zerlegt.
(2) Ich kann iokii nicht zustimmen. Beide von ihm betrachteten Unendlichkeiten sind abzählbar (und haben "nur" die Kardinalität der natürlichen Zahlen).
(3) Es gibt abzählbar viele rationale Zahlen (aus der Menge Q), aber überabzählbar viele reelle (aus der Menge R). Beispielsweise sind alle irrationalen Zahlen reell.
Eine Zahlenfolge rationaler Zahlen kann einen irrationalen Grenzwert haben. Wenn z. B. Achilles ingesamt √2 ∉ Q Stadien ("Stadion" ist auch ein antikes Längenmaß) zurücklegt, bis er die Schildkröte trifft, kann trotzdem das Paradox so formuliert werden, dass alle betrachteten Bruchteile seiner Gesamtstrecke rationale Vielfache eines Stadions sind.
Das könnte gemeint sein, aber es ist nur eine Vermutung. Mehr bringt vielleicht, wenn du die Stelle im Buch hier ausführlich zitierst, in der ein Zusammenhang zwischen den beiden Problemen hergestellt wird.
Vielleicht bedeutet es ja, dass die Unendlichkeit, mit der die Abstände kleiner werden, größer ist als die Unendlichkeit der Anzahl der Abstände.
Die Strecke die Achilles zurücklegt ist nicht unendlich, es sind lediglich unendlich viele Abschnitte, in die diese Strecke geteilt wird.
Letztlich haben wir es hier mit Grenzwerten zu tun. Hier vergleichbar mit der Definition der Geschwindigkeit als Grenzwert des Quotienten von Strecke und Zeit, die für die Strecke gebraucht wird, für Strecke bzw. Zeit gegen Null.
Bei Grenzwerten muss man immer genau darauf achten, was womit verglichen wird. Wir haben hier nicht wirklich Unendlichkeiten in der Hand, sondern nur endliche Werte, Mengen etc., die aber beliebig groß bzw. klein werden. Es ist möglich, diese Betrachtungen auf unendliche bzw. infinitesimale Größen auszudehnen, und dann stellt sich tatsächlich heraus, dass die verschiedenen "unendlichen" Werte verschieden groß sind, aber in der heutigen Mathematik lässt man das aus, weil es die Sätze, Beweise etc. nicht vereinfacht, sondern nur neue Begriffe und Größen einführt.
Die Mächtigkeiten von Mengen (rationale Zahlen zu reellen Zahlen) spielen hierbei keine Rolle. Aber vermutlich werden dich neben diesen Dingen auch infinitesimale Größen interessieren.