Würfel in Würfel verpacken?
Hallo zusammen,
da ich in Mathematik nie eine große Leuchte war, komme ich bei einer ( mir selbst gestellten ) Aufgabe nicht weiter und benötige Hilfe.
Gegeben ist ein Würfel mit einer Kantenlänge von 5000. In diesen möchte ich 80 kleine Würfel reinpacken. Welche Kantenlänge muss jeder der kleineren Würfel haben, damit alle Platz in dem großen Würfel finden und wie berechnet man das konkret?
Ich danke herzlichst im Voraus.
Was soll denn alles gelten?
Sollen alle Würfel gleich groß sein?
Soll der Große Würfel vollständig gefüllt werden?
Ja. Alle Würfel sollen gleich groß sein und der Würfel soll ganz ausgefüllt sein.
Dann ist es unmöglich.
Mindestens einer der beiden Bedingungen muss fallen.
Ja, ich habe das Prinzip mittlerweile verstanden. Es kann nur eine Anzahl sein, welche als dritte Wurzel eine ganze Zahl hat.
3 Antworten
Also wie erwähnt, musst du entweder die Bedingung streichen, dass der große Würfel ganz gefüllt sein muss, oder dass alle kleineren Würfel gleich groß sein sollen.
Wenn der Große Würfel nicht ganz gefüllt sein muss, kannst du so vorgehen:
Suche zunächst eine ganze Zahl, dessen Kubikzahl Größer als 80 ist. In diesm Fall wäre 5 (5^3=125) am besten.
Dann teilst du die Seitenlänge vom Großen Würfel durch diese Zahl. Also hier 5000/5=1000.
Du kannst den Großen Würfel mit 125 Würfel mit der Seitenlänge 1000 vollständig füllen. Mit den 80 Würfeln hast du dann halt mehr Freiraum. (Es könnte sein, dass die Würfel noch ein wenig größer sein Könnten, dann müssen die Würfel aber sehr schlau angeordnet werden, da das mit dem Üblichen stapeln nicht gehen wird)
Fall 2:
Die Würfel müssen nicht gleich groß sein, aber große Würfel soll vollständig gefüllt werden.
Da ist es aber etwas Komplizierter.
Die Vorangehensweise ist folgende:
Du startest mit der Zahl 1 und addierst dann immer Kubikzahlen, die um 1 verringert sind, bis du deine gewünschte Anzahl erreicht hast.
(Du kannst es so interpretieren, dass du einen der Existierenden Teilwürfel in nxnxn gleich große Würfel zerteilt, wenn der erste Schritt zum Beispiel +(2^2-1) lautet, zerteilt du den ersten Würfel in 8 kleinere.)
Jedoch wird das nicht für jede Anzahl funktionieren, und wenn du es auf Gut Glück machst, kann es sein, dass du die Passende Aufteilung nicht findest, obwohl es die gibt. Man kann jedoch einen Algorithmus entwickeln der es garantiert mithilfe von Rekursion hinbekommt, es ist aber dann eher ein Informatik Problem, statt einem Mathematischen.
Bei 81 ist es schaffbar, bin mir aber leider unsicher ob es bei 80 überhaupt möglich ist.
Mal naives Rechnen :
Das Volumen jedes Würfels müsste idealerweise
(5000)³/80 = 1 562 500 000 sein
Entspräche einer Kantenlänge von
[ (5000)³/80 ]^(1/3) (dritte Wurzel)
= 1160.4
.
Das wären 5000/1160.4 = 4.31 Würfel nebeneinander
Interéssant sagt dazu der Franzose !
.
Welches Wurmloch muss man nutzen ,auf welchem String surfen , damit der 0.31 Würfel real wird ?
Alice aus dem Wunderland könnte das .
.
Naiv heißt das : Entweder 4 oder 5 ??
.
4 würfel zu 1250 ergäben 4³ = 64 würfel
MaxSeitenlänge = (5000³/80)^(1/3);
Du du in der Nachfrage dazuschreibst, dass der Würfel ganz aufgefüllt sein soll:
Das geht nicht immer. Das geht nur, wenn die Zahl der kleinen Würfel eine Kubikzahl ist (also eine natürliche Zahl hoch 3).
Mir ist das erst einmal egal, ob die Zahlen "rund" bzw. "schön" sind. Es wäre schön, das grundsätzliche Prinzip / den Rechenweg zu erfahren.
Du gehst vom Gesamtvolumen aus und errechnest dir, welches Volumen ein Würfel maximal haben dürfte. Daraus errechnest du die maximale Seitenlänge. (Das habe ich oben in der Formel beispielhaft dargestellt.)
Zusätzlich musst du jetzt noch die Seitenlänge so abrunden, dass die Vielfachen der Seitenlänge nicht größer sind als die des großen Würfels:
Seitenlänge = 5000/floor(5000/MaxSeitenlänge);
Also die Kantenlänge des großen Würfels hoch 3, durch die Anzahl der kleinen Würfel und das Ergebnis dann noch einmal hoch 1/3?
Ja, so errechnet sich die maximale Seitenlänge.
Ich habe es in einem Kommentar nocheinmal genauer erläutert.
Ja, vielen Dank. Da hast du mich weitergebracht.
Also die Kantenlänge des großen Würfels hoch 3, durch die Anzahl der kleinen Würfel und das Ergebnis dann noch einmal hoch 1/3?
Das wird nicht aufgehen, 80 gleich große Würfel können keinen Vollständigen Würfel bilden.