Wie kommt man vom einem zum anderen?

Es geht um Sinus, Cosinus und Tangens, schonmal zur Info:)

Hallo, wir haben in der letzen Mathestunde eine Aufgabe zusammen an der Tafel bearbeit und ich habe die Aufgabe nicht verstanden, mir aber zum Glück den Lösungsweg mit aufgeschrieben. Nun ist es Zeit das zu überarbeiten, vorallem, weil ich sowas ähnliches jetzt bei den Hausaufgaben auch machen muss!

Wenn ich sin/cos/tan(a) schreibe meine ich mit a natürlich Alpha🙈

Gegeben war Tan(a)=¾ und die Formeln 1=sin²(a)+cos²(a) und tan(a)=sin(a)÷cos(a).

Die Aufgabe war es, sin(a) und cos(a) herausfinden:]

Also, an der Tafel stand folgendes (99% davon habe ich verstanden, nur eine kleine Umformung nicht, die ich gerne verstehen würde;)):

Sin(a)÷cos(a)=¾ |×cos(a)

Sin(a)= ¾×cos(a)

✅️ bis hier hin alles verstanden. Dann:

1=(¾×cos(a))² + cos²(a) (✅️ verstanden)

1= 9/16×cos²(a)+cos²(a) = cos²(a)×[9/16+1]

(❌️ nicht verstanden. Also das nachdem ersten = kann ich mir noch irgendwie zusammen reimen (aber warum darf ich ¾ und cos(a) alleine quadrieren?). Aber das nach dem 2. = verstehe ich komplett nicht mehr. Wie aind wir von 9/16×cos²(a)+cos²(a) auf cos²(a)×[9/16+1] gekommen? Warum ist die Klammer aufeinmal eckig? Wo kommt die +1 vorallem her? Ah

Naja, und der Rest macht wieder mehr Sinn für mich, aber so ging's weiter:

1=25/16×cos²(a) |÷25/16 (=×16/25)

16/25=cos²(a) |Wurzel ziehen

Cos(a)=⅘

(✅️ macht wie gesagt Sinn. Und auch wie ich dann Sin(a) ausrechne, versteh ich ganz easy. Nur im Mittleren Teil kann ich wie gesagt nicht so ganz folgen..)

Vielen Dank für's lesen, ich hoffe mir kann hier jemand weiter helfen!☺️

Answer 1

[evtldocha]

(❌️ nicht verstanden. Also das nachdem ersten = kann ich mir noch irgendwie zusammen reimen

Der Reihe nach:

aber warum darf ich ¾ und cos(a) alleine quadrieren?).

Es gilt das Potenzgesetz:

$\left(a\cdot b\right)^m=a^m\cdot b^m$ (letztlich ist das eine Umsortierung der Faktoren nach dem Kommutativgesetz, und das kann man sich ja zur Überlegung mal für ein kleines "m" hinschreiben).

. Wie aind wir von 9/16×cos²(a)+cos²(a) auf cos²(a)×[9/16+1] gekommen?

Fangen wir damit an:

$1=(\frac{3}{4}\cdot\ \cos(a))^2+\cos^2(a)$

Erster Term (Summand) auf der rechten Seite:

$\left(\frac{3}{4}\cdot\cos(a)\right)^2=\left(\frac{3}{4}\right)^2\cdot\cos^2\left(a\right)=\frac{3^2}{4^2}\cdot\cos^2\left(a\right)\ =\ \frac{9}{16}\cos^2\left(a\right)$

Also steht da jetzt:

$1=\frac{9}{16}\cdot\cos^2\left(a\right)+\ \cos^2\left(a\right)$

Und nun klammerst Du den Faktor cos²(a) aus [ falls es immer noch nicht klar ist: cos²(a) = 1· cos²(a) ]:

$1=\cos^2\left(a\right)\cdot\left(\frac{9}{16}+1\right)$

ganz nach dem Distributivgesetz

Answer 2

[rumar]

Ich würde dir vorschlagen, folgende Abkürzungen zu verwenden:

s:= sin(alpha)

c:= cos(alpha)

Dann kommst du zum Gleichungssystem:

(1.) s / c = 3 / 4

(2.) s^2 + c^2 = 1

Das ist ein Fall für "quadratische Gleichungen". Für Vollständigkeit: berücksichtige auch mögliche negative Werte !