Wie kann ich punktsymmetrie nachweisen?

Gegeben ist der Funktionenschar fa(x)=-ax3 +4ax

Wie kann man BEGRÜNDEN,dass alle Graphen der Funktionenschar punktsymmetrisvh sind?

Answer 1

[Roach5]

Punkt-Symmetrie im Ursprung ist nach Definition erfüllt, wenn f die Gleichung f(-x) = -f(x) erfüllt.

Wir rechnen nach: fa(-x) = -a(-x)^3 + 4a(-x) = (-1)-ax^3 + (-1)(4ax) = -(-ax^3 + 4ax) = -fa(x), passt also.

Im Allgemeinen gilt bei Polynomen immer dann Punktsymmetrie im Ursprung, wenn das Polynom nur ungerade Exponenten von x beinhaltet. Das Pendant, nämlich Achsensymmetrie zur y-Achse (erfüllt die Gleichung f(x) = f(-x)), ist dann erfüllt, wenn nur gerade Exponenten von x enthalten sind (dazu zählt auch das konstante Glied, denn a = ax^0).

LG

Answer 2

[DietmarDreist]

Nachweisen oder Begründen ? 
Wie man es beweist wüsste ich jetzt um ehrlich zu sein nicht aber begründen ist recht einfach. 
Da jeder Summant der Funktion die Variable enthält und alle Exponenten ungerade sind x^3 und x^1 wird bei jedem Gegenwert zu einem Positiven Wert x Bsp 4 und -4 die negation des gleichen y Wertes herauskommen, um beim Beispiel zu bleiben a64 + a16 und -a64 -a16

Answer 3

[Wechselfreund]

Allgemein: Punktsymmetrie, wenn f(x) = - f(-x)

Etwas freier formuliert: Tauscht du bei x das Vorzeichen, muss auch das von f(x) wechseln. Das gilt, wenn alle Exponenten von x ungerade sind, da jeweils zwei minus-Zeichen sich neutralisieren.

Answer 4

[Ellejolka]

weil nur ungerade Exponenten von x auftauchen.

Answer 5

[Scorpion1112]

Bei punktsymetrie gilt f(x)=-f(-x)