Was ist mit dieser Mathe Aufgabe gemeint?
Gegeben ist die Funktionenschar 𝑓𝑎:𝑥↦𝑎𝑥3−14𝑎𝑥2+3,42𝑥,𝐷𝑓𝑎=ℝ,𝑎∈ℝ+; ihr Graph ist 𝐺𝑓𝑎.
a) Weisen Sie nach, dass alle Graphen 𝐺𝑓𝑎 im Ursprung dieselbe Steigung haben.
2 Antworten
Um zu zeigen, dass alle Graphen 𝐺𝑓𝑎 im Ursprung dieselbe Steigung haben, können wir die Ableitung der Funktion 𝑓𝑎 berechnen und zeigen, dass sie im Ursprung gleich bleibt, egal welcher Wert für 𝑎 gewählt wird.
Die Ableitung der Funktion 𝑓𝑎 ist gegeben durch:
𝑓′𝑎(𝑥)=3𝑎𝑥2−28𝑎𝑥+3,42
Wir sehen, dass die Ableitung von 𝑓𝑎 im Ursprung immer 3,42 beträgt, egal welcher Wert für 𝑎 gewählt wird. Da die Steigung einer Funktion gleich der Ableitung an dem betrachteten Punkt ist, haben alle Graphen 𝐺𝑓𝑎 im Ursprung also dieselbe Steigung von 3,42.
Berechne die Ableitung f'(0) und wenn die Aussage stimmen soll, kommt dann ein Wert unabhängig von "a" raus. Womit die Aussage dann auch bewiesen ist.