Wie erkennt man das Verhalten von f für x->plus/minus unendlich?

An sich weiß ich wie es geht aber bei a hab uch keine Ahnung. Also die Nullstellen kann man ablesen aber was mavj ivh dann?

Answer 1

[nobytree2]

$f\left(x\right)=\left(x-2\right)\cdot\left(x+4\right)\cdot\left(x-1\right)=x^3+x^2\left(-2+4-1\right)+x\left(-2\cdot4+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)+4\cdot\left(-1\right)\right)+\left(-2\right)\cdot\left(4\right)\cdot\left(-1\right)$ $=x^3-x^2-10x+8$ $für\ x\ne0\ ist\ das\ gleich\ x^3\left(1-\frac{1}{x}-\frac{10}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)=f\left(x\ne0\right)$

jetzt können wir eine Aussage machen

$\lim_{x\to\infty}x^3\left(1-\frac{1}{x}-\frac{10}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)\to x^3\cdot\left(1-0\right)=x^3\to\infty$ $\lim_{x\to-\infty}\left(1-\frac{1}{x}-\frac{10}{x^2}+\frac{8}{x^3}\right)\to x^3\cdot\left(1-0\right)=x^3\to-\infty$

da x hoch ungerade das Minuszeichen hält und es weiterhin gilt

$für\ n\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\},\ z\in\mathbb{Z}:\ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{z}{x^n}\to0$