Verhalten der Funktion für x gegen plus (minus) unendlich?
Mein Weg ist doch richtig?
3 Antworten
Naja, woran erkennt man denn bei (1+1/x²)/(5/x+3/x^4), dass das für x->+/- - Unendlich tatsächlich gegen +/- - Unendlich läuft?
"Klassisch" würde man eher in Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz ausklammern, also hier im Zähler x^4 und im Nenner x³, dann kann man x³ wegkürzen und es bleibt übrig:
lim x(1+1/x²)/(5+3/x³)
Lässt man jetzt x->+/- - Unendlich laufen bleibt x/5 übrig. Daran erkennt jeder sofort, dass bei x->+ - unendlich der lim + - unendlich ist und im Negativen minus-unendlich rauskommt.
Auch ist Deine Schreibweise nicht "100%ig" korrekt. Kürzt, oder erweiterst Du einen Funktionsterm, wie hier durch x^4 kürzen, dann veränderst Du u. U. den Definitionsbereich, d. h. das "="-Zeichen stimmt nicht mehr!
Die Funktion würde ich so stehen lassen und die Umformungen hinter dem "lim" durchführen, da bleibt der Grenzwert derselbe, wenn man wie hier sinnvoll "ein paar" x'e wegstreicht.
In der ursprünglichen Funktion gehört x=0 zum Definitionsbereich. In dem rechten, mit x⁴ gekürzten Term, ist x=0 nicht definiert. D. h. die beiden Terme sind nicht gleich, und ich glaube auch nicht, dass euer Lehrer euch das so gezeigt hat!
Die Begründung bzgl. des Grenzwerts stimmt auch nicht: der Zähler läuft in Deiner Version gegen 1und der Nenner gegen Null. Nur ob der Nenner von links oder rechts gegen Null läuft und somit für den Bruch plus- oder minus-unendlich rauskommt, erkennt man so am Nenner nicht unbedingt! Wie sähe es denn z. B. aus, wenn im Nenner statt (5/x+3/x⁴) der Term (5/x-3/x⁴) oder (3/x⁴-5/x) steht? Bei letzterem gingen nämlich die Grenzwerte in die entgegengesetzten Richtungen.
Mit "klassische" Methode habe ich mich im Grunde falsch ausgedrückt. Es ist DIE richtige Methode; ob "einzig richtige" möchte/kann ich nicht behaupten, ich kenne nur keine andere...
Ich denke ja. Für eine Klausur würde ich mir angewöhnen die Fälle +unendlich und -unendlich wirklich zu trennen. So könnten Missverständnis auftreten.
Naja, es wäre ja +∞ gegen +∞ und -∞ gegen -∞.
Aber kürzen verändert doch nicht den Wert. Und wir habe das die ganze Zeit so gemacht (durch x mit höchster Potenz kürzern). Wieso haben wir das nicht so gemacht, wie du es beschrieben hast. Du sagst, das ist der klassische Weg. Soll ich das in Zukunft immer so machen? Weißt du wann welcher Weg besser ist. Viele Wege zum führen ja zum Ziel.
Das geht gegen unendlich, weil wenn x gegen unendlich läuft, würde der Zähler gegen Null laufen, da würde eine unendlich große Zahl rauskommen, wenn man durch "fast Null" teilt. Hätte das als Begründung bei meinem Weg gezählt