Frage von lolipop33superr, 19

Definitionsmenge und verhalten für +/- unendlich?

Ich verstehe nicht wie ich die Definitionsmenge angeben soll und wie ich da verhalten für plus und minus unendlich untersuche. Hier eine Aufgabe (siehe foto) kann mir jemand helfen bitte?

Antwort
von Schilduin, 7

Wie du weißt kannst du in Funktionen für die Variable eine Zahl einsetzen. In den meisten Fällen kann diese beliebig sein, in dem Fall ist der Definitionsbereich gleich die Menge der reellen Zahlen (ich gehe zumindest davon aus, dass ihr nicht mit komplexen Zahlen arbeitet).

In manchen Fällen kann man aber bestimmte Zahlen nicht einsetzen, weil der zugehörige Definitionswert nicht definiert ist. Beispielsweise wenn durch 0 geteilt wird, oder wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht (vorrausgesetzt auch der Funktionswert ist nicht komplex). Bei der Funktionsvorschrift f(x)=1/x wäre der Definitionsbereich IR\{0}, da kein Wert für 1/0 definiert ist.

Das Verhalten gegen +/- Unendlich kannst du sehen, wenn du für x sehr große oder sehr kleine Werte einsetzt, alternativ am Graphen.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 10

in die Definitionsmenge gehören die Zahlen, die für x in die jeweilige Funktion eingesetzt werden können.

In Polynomfunktionen (wie die a) ) kannst Du immer alle reellen Zahlen einsetzen. Bei Wurzelfunktion musst Du prüfen, für welche x-Werte der Teil unter der Wurzel kleiner als Null werden würde, weil es für negative Werte unter der Wurzel keine reellen Lösungen gibt.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen (wie bei c) ) musst Du prüfen, für welche x-Werte der Nenner Null werden würde. Für diese Werte ist die Funktion dann nicht definiert.

Bzgl. des Verhaltens im Unendlichen, setzt Du einfach hohe Beträge ein (+ und -) und guckst was rauskommt. Bei Polynomfunktion brauchst Du Dir nur den höchsten Grad anschauen, also in a) das x³. Ob dahinter plus oder minus kommt spielt absolut keine Rolle.

Bei gebrochen-rationalen Funktionen gilt: Ist der Zählergrad größer als der Nennergrad, dann gehts gegen plus- oder minus-unendlich. Ist der Nennergrad größer, dann gehts gegen Null. Sind beide Grade gleich, dann ist der Grenzwert der Bruch der davorstehenden Koeffizienten (Bsp: f(x)=(4x³-1)/3x³, Grenzwert = 4/3)

Antwort
von Amago, 5

Da du für die Definitionsmenge bei a) erst eine Polynomdivision durchführen musst und ich dafür jetzt keine Zeit habe, erklär ichs an der c).

f(x) = (2x + 1)/x²

Das ist eine gebrochen rationale Funktion. 

In einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden, da man nicht durch Null teilen darf. 

Das bedeutet, x² darf nicht Null sein, also darf x nicht null sein. Daraus folgt:

Definitionsmenge D = R \ {0}; Also alle reellen Zahlen ohne Null. 

Das bedeutet, dass eine vertikale Asymptote bei x = 0 liegt. 

Die horizontale Asymptote ist bei y = 2. 

Woher weiß man das? Man vergleicht die größten Polynome im Zähler und im Nenner. Im Zähler ist er 2x, also x^1. Im Zähler x². 

Da die Potenz im Nenner größer ist, bekommt man die horizontale Asymptote durch eine Division der Zahlen vor dem x heraus. Also hier: 2 / 1 (2x und 1x²)

Jetzt kann man noch die Nullstellen ausrechnen, also die Schnittpunkte mit der x-Achse. Dafür setzt man für y Null ein.

0 = (2x + 1)/x² | * x²

0 = 2x + 1 | -1 |:2

-0,5 = x

Der Graph schneidet die x-Achse bei x = -0,5

Dann gibt es noch den Schnittpunkt mit der y-Achse. Dafür setzt du für x = 0 ein. 

f(x) = (2 * 0 + 1)/0²

Da hier der Nenner Null wäre, wie in der Definitionsmenge schon vorhergesagt, ist die Funktion für Null nicht definiert. Also schneidet der Graph die y-Achse nicht. 

Der Graph dieser gebrochen rationalen Funktion besteht aus zwei Ästen, jeweils im ersten und dritten Quadranten. 

Im ersten Quadranten nährt sich der Graph von oben an die Asymptote y = 2.

Also: lim (x->+unendlich) f(x) = 2^+

und: lim  (x->-unendlich) f(x) = 2^-

Das bedeutet: die Funktion nährt sich von oben, also +unendlich an die Asymptote an und verläuft dann nach rechts (Deswegen das ^+ bei der 2)

Und die Funktion nährt sich am anderen Ast von unten, also -unendlich an die Asymptote an und verläuft dann nach links (Deswegen das ^- bei der 2)

Wenn du noch Fragen hast sag bescheid.

MfG

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