Extremwerte mit angegebenen Definitionsmengen?
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe aber verstehe nicht ganz wie ich rechnen soll, wenn ∞ in der Definitionsmenge steht. Die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie, ob f bezüglich der angegebenen Definitionsmenge ein globales Maximum oder Minimum besitzt und geben Sie die globalen Extremwerte gegebenfalls an.
f(x) = (1/x) +x D1 = (0;5]; D2 = (-∞; -1]
Wäre wirklich nett, wenn mir jemand helfen könnte, Danke!!!
2 Antworten
Globales Minimum/Maximum bedeutet, es gibt einen konkreten minimalen/maximalen Funktionswert innerhalb des angegebenen Definitionsbereichs.
Dazu berechnest Du die Extremstellen innerhalb des Definitinosbereichs und die Funktionswerte an den Intervallgrenzen (Randwerte) dieses Definitionsbereichs.
Im Bereich von D1 wirst Du ein Minimum ermitteln können. Die rechte Intervallgrenze kannst Du einfach einsetzen. Links kannst Du nur den Grenzwert Richtung 0 angeben: läuft x Richtung 0 wird 1/x immer größer, d.h. f(x) läuft gegen Unendlich, d. h. es gibt keine obere Grenze, also auch kein globales Maximum. Das globale Minimum ist der Tiefpunkt, weil sowohl linker als auch rechter Randwert höher liegen.
Mit D2 gehst Du genauso vor...
Die Funktion hat bei x=-1 ihr lokales Maximum (ermittelte Extremstelle). Das ist hier gleichzeitig der rechte Randwert. Da es keinen höheren Punkt in diesem Intervall gibt, ist bei x=-1 nicht nur das lokale, sondern auch das globale Maximum.
Hast Du einmal eine Funktion mit z. B. zwei Punkten, die beide Hochpunkt auf gleicher Höhe sind und deren Funktionswert nirgendwo sonst übertroffen wird, dann existiert halt an diesen beiden Punkten das globale Maximum. Für die Angabe des Wertebereichs ist eh uninteressant an welchem Punkt das globale Maximum ist, da interessiert nur wie groß der y-Wert an dieser Stelle ist.
spezielle Quotientenregel (1/v)´=-1*v´/v²
Summenregel f´(x)=f´1(x)+/-f´2(x)+/-...+/-f´n(x)
f(x)=1/x+1*x nicht definiert bei x=0 → Pol
f1(x)=1/x → v=x → v²=x² v´=dv/dx=1 f´1(x)=-1*1/x²=-1/x²
f2(x)=1*x f´2(x)=1
f´(x)=m=0=-1/x²+1 Nullstellen 1/x²=1 x1,2=+/-Wurzel(1)=+/-1 → x1=1 und x2=-1
noch mal ableiten
f´(x)=-1*(1/x²)+1*x⁰
v=x² → v²=x⁴ v´=dv/dx=2*x → -1*(2*x)/x⁴=-1*2/x³=-2/x³
f´´(x)=-1*(-2)/x³=2/x³
f´´(1)=2/1³=2>0 also ein Minimum
f´´(-1)=2/(-1)³=-2<0 also ein Maximum
D1 [0;5) lokales Minimum bei x=1
D2 [-∞;-1] lokales Maximum bei x=-1
globale Extremwerte mit +∞ und -∞
f(∞)=1/∞+∞=0+∞=∞
f(-∞)=1/∞-∞=0-∞=-∞
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
Kurvendiskussion
Vielen Vielen Dank, D1 hab ich jetzt geschafft, bei D2 habe ich ein lokales Maximum, doch bei der rechten Intervallgrenze kommt derselbe Wert heraus. Was davon ist nun das globale Maximum?