Wenn mein zukünftiger Chef bis bald schreibt soll ich dann auch bis bald schreiben oder ist es besser wenn ich nichts schreibe?

Wenn eine Antwort nicht zwingend gefragt ist, besser nichts mehr schreiben. Es nervt, wenn man auf jede schlichte Info noch weitere Kommentare bekommt. Eine Lesebestätigung reicht völlig aus.

Ich glaube gar nichts zu schreiben wäre verkehrt. Du önntest sowas schreiben wie: Ich freue mich bald bei Ihnen anfangen zu dürfen. (für den Fall, dass der Chatverlauf sehr förmlich ist) Aber "Bis bald" zu schreiben ist meiner Meinung nach auch ok.

Ich würde Redundanzen vermeiden, das wäre peinlich