Frage von Maximel, 64

Was ist Stetigkeit. Und wann ist eine Funktion stetig oder differenzierbar?

Antwort
von Physikus137, 64

Die Funktion y = f(x) ist stetig bei x = x0, wenn sich für jede beliebig kleine Zahl a eine weitere Zahl b finden lässt, so dass für alle x bei denen | x - x0 | < a gegeben ist auch | f(x) - f(x0) | < b gilt.

( Meist wird statt a Epsilon und statt b Delta geschrieben, daher heißt die obere Bedingung auch Upsilon-Delta-Kriterium.)

Eine Funktion ist differnzierbar, wenn der Grenzwert bei h -> 0 von ( f(x+h) - f(x) ) / h existiert.

Siehe auch "Stetigkeit" und "Differenzierbarkeit" bei Wikipedia.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 50

Neben den fachlich korrekten Antworten vielleicht nochmal etwas anschaulicher: Wenn du eine Funktion ohne Absetzen des Stifts zeichnen kannst, ist sie stetig.

An Knick- [→ Beispiel Betragsfunktion] und Sprungstellen (Unstetigkeitsstellen) [→ Beispiel Tangens] ist sie nicht differenzierbar.

Kommentar von Suboptimierer ,

Achtung!

Stetig differenzierbar heißt weder, dass die Funktion stetig und differenzierbar ist, noch dass sie stetig weiter differenziert werden kann, sondern dass die Ableitung stetig ist.

Ich finde, das ist begrifflich nicht ganz klar, bzw. kann leicht verwechselt werden.

Antwort
von Roderic, 32

Für die Begriffe Stetigkeit und Differenzierbarkeit gibt es exakte mathematische Definitionen.

So exakt und unzweideutig, daß jede Antwort, die nicht eine 100%ige Kopie dessen ist, was auch in deinem Mathebuch oder in der Wikipedia steht, zwangsläufig falsch wäre.

Was also bringt es dir, uns zu bitten, exakt dasselbe noch mal für dich aufzuschreiben.

Lesen musst du es in beiden Fällen.

Kommentar von Maximel ,

Und was bringt es dir unnötiges und nicht hilfreiches zu kommentieren?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathematik, 52

Eine Funktion ist in einem Intervall, kann auch ganz R sein, stetig, wenn dort überall der Grenzwert

lim f(x) mit x strebt gegen x _ 0 = f(x _0)

existiert, mit x _ 0 Element des Intervalls.

Gibt es auch nur ein einziges x _ 0 in dem Intervall, für dass dieses nicht gilt, dann ist die Funktion nicht stetig.

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f heißt an der Stelle x _0 Element von D(f) differenzierbar, wenn der Grenzwert

lim ( (f(x) - f(x _ 0)) / (x - x _ 0)) mit x strebt gegen x _ 0

existiert.

Eine Funktion f heißt differenzierbar auf D(f), wenn sie an jeder Stelle aus D(f) differenzierbar ist.

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