Ist eine differenzierbare Funktion auch immer stetig?
Antwort: Ja
aber warum?
4 Antworten
Wenn die Funktion unstetig ist, dann wird es immer einen Abstand größer als ein Epsilon (eine Zahl größer Null) für zwei Funktionswerte geben, egal wie nahe sich die Stellen kommen (dies geschieht an der Unstetigkeitsstelle). Der Zähler des Differenzenquotienten ist dann nach unten beschränkt, daher divergiert der Differentialquotient, da det Nenner x - x_0 gegen Null geht.
Daraus folgt, dass Stetigkeit eine notwendige Bedingung ist (auf indirekte Weise gezeigt).
Grafisch lässt dich das auch nachvollziehen. Versuchst du an einer Sprungstelle eine Tangente anzulegen, so ist diese senkrecht. Die Steigung divergiert also gegen unendlich
War vllt. etwas zu technisch für die Schule, aber hoffe der grafische Nachtrag hat geholfen ^^
Sonst versuche ichs gerne nochmal intuitiver.
Wenn f differenzierbar ist, dann existiert
für alle x_0 im Definitionsbereich.
Daraus folgt
die Definition von Stetigkeit.
Weil eine diffbare Funktion an jedem Punkt diffbar ist, muss sie auch an jedem Punkt stetig sein.
Wenn du eine Sprungstelle hast, ist sie dort nicht stetig also auch nicht diffbar.
Anders ausgedrückt: der Limes x-> x_0 f(x)=f(x_0) existiert nicht.
Weil Stetigkeit eine Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist. Das ist so definiert. Oder anders ausgesprochen: wenn sie nicht stetig ist kann sie gar nicht differenzierbar sein.
Somit muss eine differenzierbare Funktion auch stetig sein.
Also würde diese Antwort in einer Mathe Klausur ausreichen? Einfach, dass Stetigkeit eine Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist?
Also streng genommen wiederholt das nur, was die Frage in den Raum wirft. Kommt mir recht trivial vor.
Danke!