Funktion die differenzierbar ist aber nicht stetig differenzierbar ist?
Für eine stetig differenzierbare Funktion gilt:
1.) f(x) auf [a,b] stetig ist
2.) f(x) auf ]a,b[ differenzierbar ist
3.) f´(x) auf ]a,b[ stetig ist.
Nun finde ich kein Beispiel, bei dem 1 und 2 aber nicht 3 gilt. Ist die Ableitung jeder differenzierbaren Funktion stetig? Außerdem folgt sowieso 1 aus 2, oder?
3 Antworten
2), aber nicht 1.) gilt für f(x) = x^0,5 auf ]0,1[ und f(0) = 1 und f(1) = 0. Diese Funktion ist am Rand nicht stetig.
Aber 1a.) f(x) auf ]a,b[ stetig folgt aus 2).
Beweis:
Wäre f an Stelle x nicht stetig, so gibt es einen "Sprung", d.h. in beliebiger Näher zu x sind alle werte | f(x+epsilon) - f(x) | > delta für ein positives delta. Dann ist Differenzenquotient | f(x+epsilon) - f(x) | / epsilon > delta / epsilon und geht gegen unendlich für epsilon gegen 0.
2 ist auch Voraussetzung für 3), d.h. wenn 3) gilt, gilt auch 2)
Zur eigentlichen, wirklich sehr interessanten Frage
Probier mal auf [a,b] = [-1;1]
f(x) := x^2* sin(1/x) für x != 0 und f(0) :=0
außerhalb der 0 ist es offenbar stetig diff.bar.
an der Stelle x=0 ist |f(x)| < x^2, d.h. |f(x) -f(0)| / |x| < |x|, d.h. f'(0) = 0
außerhalb der 0 ist
f'(x) = 2x * sin(1/x) - x^2* x^(-2) * cos(1/x) = 2x * sin(1/x) - cos(1/x) mit unendlich vielen Werten 1 (oder -1 oder irgendwas dazwischen) in jeder epsilon-Umgebung der 0.
Ich hoffe, ich habe richtig gerechnet.
Wäre schön gewesen, wenigstens ein Danke zu bekommen oder ein DH, vom FS oder einem anderen math. interessierten Leser. Immerhin habe ich die Frage beantwortet und ich habe ca. 2 Stunden gebraucht, ein Beispiel zu finden und durchzurechnen.
Außerdem folgt sowieso 1 aus 2, oder?
Auch wenn ich nur ein Schmalspurmathematiker bin: nein! a und b können doch Definitionslücken darstellen?!?
Aber dann ist die Funktion ich differenzierbar, wenn sie Definitionslücken hat.
Ja ein Bsp wo 1) und 2) nicht zutreffen wäre f(x)-> |x| ;
Sie wäre zwar stetig, da man sie in einem Zug zeichnen kann. Trotzdem ist sie nicht differenzierbar für x=0. An dem Punkt kannst du nämlich kein eindeutige Steigung ausmachen.