Wann ist eine Funktion "stetig und differenzierbar"?
Es kommt ja immer ein Ergebnis raus aber wann ist sie nicht stetig und nicht differenzierbar?
Mit freundlichen Grüßen
5 Antworten
Definition der Stetigkeit:
x → f(x) ist an der Stelle x = x0 stetig, falls
1) x0 Element von D
2) lim x→x0+ f(x) = lim x→x0- f(x)
3) lim x→x0 f(x) = f(x0)
In diesem Sinne ist eine Funktion mit Knick stetig, aber auch die Funktion y = 1/x im Definitionsbereich, wegen x Element R\{0} .
Um dir deine Lösung grafisch mal zu verdeutlichen:
Grün ist deine zusammengesetzte Funktion. Grau angedeutet die Teilfunktionen auf das ganze Intervall fortgesetzt.
So siehst du, dass an der Nahtstelle in x=1 sowohl die Funktionswerte beider Teilfunktionen übereinstimmen (also ist f stetig) als auch deren Steigungen (also ist f differenzierbar).
Nicht differenzierbar ist sie, wenn du sie nicht ableiten kannst. Nicht stetig ist sie dann, wenn sie Sprünge hat.
Hast du einen grafischen Taschenrechner? Dann eingeben und schauen. Hast du einen Computer? Dann Derive laden und schauen.
hab ich ist aber in der Prüfung nicht erlaubt.... und solche fragen werden kommen hat er schon angekündigt....
Die anschauliche Beschreibung von Stetigkeit meint, dass eine Funktion keine Knicke oder Sprünge hat. Schau dir zum Beispiel die Betragsfunktion f(x)=|x| an. Diese hat an der Stelle 0 einen Knick und ist an dieser Stelle nicht stetig.
Falsch. Stetig sind Funktionen mit Knicken trotzdem, nur eben nicht differenzierbar (da nicht eindeutig linear approximierbar). Nichtstetige Funktionen haben z.B. Sprünge.
Hmm oke aber wie kann man das am Ergebnis sehen also ich hab hier was ausgerechnet und werte für a und b bekommen ist die jetzt stetig und differenzierbar siehe Foto:
Hast du alles richtig gemacht. Stetig ist sie, wenn die Funktionswerte von beiden Seiten übereinstimmen. Und differenzierbar, wenn es die Ableitungswerte tun.
"stetig ist sie wenn die Funktionswerte von beiden Seiten übereinstimmen" kannst du mal ein Beispiel nennen wo sie übereinstimmen????
Naja, in deinem Fall eben grade weil du a=1 wählst. Für jeden anderen Wert von a wäre ja deine Gleichung 1+a=2 nicht lösbar, also hätte die Parabel in x=1 dann nen anderen Funktionswert als die Gerade, und die zusammengesetzte Funktion damit bei x=1 eben einen Sprung.
Stell dir in der Zeichnung von mir einfach x²+2 statt x²+1 vor, dann wäre die Parabel da eine Einheit weiter oben und du hättest in x=1 keine gleichen Funktionswerte.
|x| ist natürlich im gesamten Definitionsbereich stetig, auch an der Stelle x=0. Sie ist dort nur nicht differenzierbar.
Stetigkeit bedeutet quasi, dass du die Funktion zeichnen kannst, ohne den Bleistift abzusetzen. Differenzierbarkeit bedeutet, dass die Funktion keine Knicke hat (bzw. du an jeder Stelle einen Anstieg angeben kannst, bei f(x) = |x| geht das für x = 0 zum Beispiel nicht, da könnte der Anstieg 1 oder -1 sein).
Hmm oke aber wie kann man das am Ergebnis sehen also ich hab hier was ausgerechnet und werte für a und b bekommen ist die jetzt stetig und differenzierbar siehe Foto:
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