quadrieren, Bruch beseitigen, Klammern auflösen und zusammenfassen

Die Funktion liegt in der Scheitelpunktform vor. Den Scheitelpunkt kannst Du direkt ablesen: S (40│10) Damit hast Du das Maximum.

Nullstellen:

0 = (-1/200) * (w - 40)² + 10

Der positive Wert ist gesucht.

Schnittpunkt mit der h-Achse:

h(0) = (-1/200) * (0 - 40)² + 10

An welchen Stellen hat der Speer 8 m Höhe?

8 = (-1/200) * (w - 40)² + 10

Hier kommen 2 Lösungen für w heraus.

Welche Höhe hat der Speer nach 70 m?

h(70) = (-1/200) * (70 - 40)² + 10

2 * x = x + x

2 * ln(5) = ln(5) + ln(5)

a^x * a^x = a^(x + x) = a^(2 * x)

e^ln(5) * e^ln(5) = e^(ln(5) + ln(5)) = e^(2 * ln(5))

Da e^ln(5) = 5 muss das das Produkt 25 sein.

Die Variablen werden mit Indizes unterschieden. Du kannst auch x₁ = x und x₂ = y setzen, wenn das besser verständlich ist.

zu a)

Setze a = 6 ein und löse das Gleichungssystem. Du erhältst x₁ und x₂ abhängig von b.

zu b)

Für a = -6 wird die linke Seite der zweiten Gleichung gleich Null. Wenn die rechte Seite ungleich Null ist, gibt es einen Widerspruch und damit keine Lösung. Bestimme also b so, dass die rechte Seite der Gleichung Null ergibt, also 4 + 2b = 0. Dann fällt die zweite Gleichung weg und es gibt unendlich viele Lösungen. x₁ kann dann abhängig von x₂ bestimmt werden.

Beispiel 1a)

1 / 2 = x / 10

Die Dreiecke sind ähnlich, sodass Du entsprechende Seiten ins Verhältnis zueinander setzen kannst.

...

f(x) = x² – x , x₀ = 1

Differenzenquotient:

(f(x₀ + h) – f(x₀)) / h =

((x₀ + h)² – (x₀ + h) - (x₀² - x₀)) / h =

(x₀² + 2 * x₀ * h + h² – x₀ – h - x₀² + x₀) / h =

(2 * x₀ * h + h² - h) / h =

2 * x₀ + h - 1

Differentialquotient:

lim(h → 0) (2 * x₀ + h – 1) = 2 * x₀ - 1

für x₀ = 1

lim(h → 0) (2 * 1 – 1) = 1

Taylorpolynom:

Beginne mit f(x₀), hier: f(1) = 5:

= 5 + 9 * (x - 1) / 1! + 16 * (x - 1)² / 2! + ...

...

Produktregel i.V.m. Kettenregel

Der erste Faktor ist die erste Klammer und der zweite Faktor die Wurzel.

Unter dem Bruchstrich fehlt die Wurzel, es muss √(x² + 1) heißen.

0 = 8a + 4b + 2c + d

b = -6a sowie c = 9a einsetzen:

0 = 8a + 4 * (-6a) + 2 * (9a) + d

0 = 8a - 24a + 18a + d

0 = 2a + d

d = -2a

Funktionsgleichung:

f(x) = a * x * (x - 7) * (x - 11)

P (3│4,3) einsetzen:

4,3 = a * 3 * (3 - 7) * (3 - 11)

a = 43 / 960

f(x) = (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11)

a)

Gesucht ist die Fläche unter der Kurve.

∫ (43 / 960) * x * (x - 7) * (x - 11) dx von 0 bis 10 = 15,677...

11000 Liter + 15,677 * 1000 Liter = 26677 Liter

b)

t = 0 Minimal (zu Beginn, da Zulauf)

t = 7 Maximal (ab da Ablauf)

c)

Setze das Integral gleich 15 und bestimme die obere Schranke.

Die liegt bei ca. t = 4,5.

d)

Das gilt im Bereich des Abflusses, also z.B. bei t = 8.

Du hast nicht alle Bedingungen ausgewertet.

Funktion und Ableitungen:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

Es gibt 4 Bedingungen und 4 Unbekannte.

Bedingungen:

(1) f(0) = 3

(2) f'(0) = 0

(3) f(1) = 5

(4) f''(1) = 0

Gleichungssystem:

(1) d = 3

(2) c = 0

(3) 5 = a + b + 3

(4) 0 = 6a + 2b

--------------------

Es reduziert sich auf ein LGS mit 2 Unbekannten.

Das führt zu a = -1 und b = 3. c und d sind ja schon bekannt.

Beachte die ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke, die durch die Höhen h_a, h_b und h_c entstehen.

Voraussetzung: c_2 geht über A hinaus.

Strahlensatz:

h_b / h_c = a_1 / a_2

h_c / h_a = b_1 / b_2

h_a / h_b = c_1 / c_2

-------------------

(h_b / h_c) * (h_c / h_a) * (h_a / h_b) = (a_1 / a_2) * (b_1 / b_2) * (c_1 / c_2) = 1

2t -t³ = t - t²

t³ - t² -t = 0

t * (t² - t - 1) = 0

t_1 = 0

t² - t - 1 = 0

t = (1 / 2) +-√((1 / 2)² + 1)

t_2 = (1 / 2) * (1 + √5)

t_3 = (1 / 2) * (1 - √5)

Werte für t einsetzen und zugehörige x- und y- Werte ermitteln.

Bilde die Differenz der beiden Funktionen, also f(x) - g(x) und bestimme davon das Maximum.

Das funktioniert mittels Differentialrechnung (Ableitung gleich Null setzen) oder einfach, indem der Scheitelpunkt der Differenzfunktion bestimmt wird.

Zum Vergleich: Der größte Abstand liegt bei x = 35

Durch das Quadrieren (keine Äquivalenzumformung) können Scheinlösungen entstehen. Daher müssen die Ergebnisse der Rechnung überprüft werden.

2^x * 8 + 2^x = 68

2^x * 8 + 2^x * 1 = 68

9 * 2^x = 68

...

f'(x) passt, f''(x) nicht

Produktregel anwenden

f(x) = x² * e^x

f‘(x) = 2 * x * e^x + e^x * x² = e^x * (2 * x + x²)

f''(x) = e^x * (2 * x + x²) + (2 + 2 * x) * e^x = e^x * (x² + 4 * x + 2)

Ein schönes Buch, welches die Erwachsenenwelt kritisiert. Es enthält einen meiner Lieblingssprüche:

"Man sieht nur mit dem Herzen gut. Das Wesentliche ist für die Augen unsichtbar."

"Wenn das Gehirn des Menschen so einfach wäre, dass wir es verstehen könnten, dann wären wir so dumm, dass wir es doch nicht verstehen würden."

Jostein Gaarder, "Sofies Welt", S. 392

Das Zitat zeigt uns Grenzen unserer Erkenntnisfähigkeit auf, die prinzipiell bestehen.

Deine Rechnung ist korrekt. In der Musterlösung ist direkt zu Beginn ein Fehler enthalten. Die Funktionsgleichung in der Lösung weicht von der Aufgabenstellung ab.