Mathe e Funktion Ableitung?
Hey
Wenn f(x) = x^2 •e^x
dann: f‘(x) = 2x• e^x+ e^x• x^2
und:
f“(x) = 2• e^x+e^x + 2x + e^x • x^2 + 2x • e^x
…stimmt das ? Ich glaube ich habe mich da verzettelt.
Das Foto welches ich anhänge zeigt, wie es sein sollte, ich jedoch verstehe es nicht. Denn u und v sind laut meinen Notizen falsch sortiert. Ist das denn variabel ? Was ist denn nun die richtige Produktregel ? (…) v + u (…) oder (…)v+ u‘ (…)
1 Antwort
f'(x) passt, f''(x) nicht
Produktregel anwenden
f(x) = x² * e^x
f‘(x) = 2 * x * e^x + e^x * x² = e^x * (2 * x + x²)
f''(x) = e^x * (2 * x + x²) + (2 + 2 * x) * e^x = e^x * (x² + 4 * x + 2)
Nehmen wir das Beispiel:
f‘(x) = e^x * (2 * x + x²)
Das Produkt e^x * (2 * x + x²) besteht aus den beiden Faktoren e^x und (2 * x + x²). Innerhalb der Klammer nutzt man die Potenzregel.
u(x) = e^x ; u'(x) = e^x
v(x) = 2 * x + x² ; v'(x) = 2 + 2 * x
zusammen
f''(x) = e^x * (2 * x + x²) + (2 + 2 * x) * e^x
Man kann auch bei der Funktion g(x) = 2 * x die Produktregel anwenden.
g'(x) = 0 * x + 1 * 2 = 2
Das wäre aber "mit Kanonen auf Spatzen schießen".
In beiden Produkten sollte schon die Unbekannte x vorkommen.
Ich habe den Kommentar komplett verstanden und auch wie du die zweite Ableitung schreibst. Ich weiß leider nur nicht, wie ich bis zur Klammerschreibweise komme, wie man ja schon an meiner offenen Rechnung sieht. Kannst du mir eventuell erklären, was ich konkret mit meinen Zahlen und meiner Reihenfolge der Funktionsgleichung von f1 auf f2 falsch gemacht habe ?
Denn u und v machen zwar bei der Klammerschreibweise perfekt Sinn, nicht jedoch wenn ich es versuche offen zu rechnen, also ohne Klammern, da sind u und v dann mehr oder weniger vertauscht.
Tut mir Leid, dass ich das nicht schneller verstehe, ich bemühe mich.
Jetzt wo ich anscheinend die richtige Produktregel gefunden habe, macht’s Sinn… ?
f‘(x) = 2x • e^x + e^x • x²
Wenn man an dieser Stelle e^x nicht ausklammert, muss man zweimal die Produktregel anwenden. Die Reihenfolge der Produkte bei der Produktregel spielt keine Rolle:
u' * v + u * v' oder u' * v + v' * u
Erster Term: u = 2x ; u' = 2 ; v = e^x ; v' = e^x
Zweiter Term: u = e^x ; u' = e^x ; v = x² ; v' = 2x
zusammen:
f''(x) = 2 • e^x + e^x • 2x + e^x • x² + 2x • e^x
bei Dir:
f“(x) = 2 • e^x + e^x + 2x + e^x • x² + 2x • e^x
In der Mitte hast Du ein Pluszeichen, wo ein Malzeichen hingehört.
Die Reihenfolge der 4 Produkte ist egal.
Ehrlich gesagt verstehe ich die Lösung mit den Klammern nicht ganz. Ist 2x (-> 0• x + 1•2) auch nach der Produktregel zu rechnen, oder wo liegt der Fehler?