Stetigkeit im Intervall nachweisen?
Hallo, wie kann man denn die Stetigkeit einer Funktion im Intervall nachweisen?
Wie es an einem Punkt geht, ist klar.
Ich lese überall nur, eine Funktion sei im angegebenen Intervall stetig, wenn sie an jedem Punkt im Intervall stetig ist. Aber ich kann doch nicht jeden Punkt einzeln untersuchen?
Danke!
3 Antworten
Nehmen wir uns mal die billige Funktion f(x) = x. Wir wollen zeigen, dass sie stetig ist. Wie du richtig bemerkst, muss ich also zeigen, dass sie in jeder reellen Zahl stetig ist. Da ich nicht unendlich viele Beweise führen möchte, nehme ich mir stattdessen einen nicht näher spezifizierten reellen Punkt x0. Die einzige Eigenschaft, die ich x0 mitgebe, ist dass es eine reelle Zahl ist! Ich werde zeigen, dass f stetig in x0 ist. Da ich x0 nicht einen spezifischen Wert gegeben habe (es ist gewissermaßen eine Variable), kann ich dann später jede beliebige Zahl für x0 einsetzen und habe somit für jede beliebige Zahl einen korrekten Stetigkeitsbeweis.
Ich nehme mal die Epsilon-Delta-Stetigkeit:
Sei ε > 0. Gesucht ist ein δ > 0, sodass für alle reellen Zahlen x mit |x - x0| < δ die Ungleichung |f(x) - f(x0)| < ε erfüllt ist.
Nun, ich wähle einfach δ := ε, dann gilt offenbar für alle x mit |x - x0| < δ:
|f(x) - f(x0)| = |x - x0| < δ = ε
Und mehr haben wir ja nicht verlangt.
Somit ist f stetig in x0.
Joa, gibt es... Was habt ihr denn gelernt?
Mir fielen z.B. noch die Folgenstetigkeit ein, sowie die "Urbilder offener Mengen sind offen"-Definition...
Wenn man von manchen Funktionen schon weiß, dass sie stetig sind (etwa Polynome), kann man auch Sätze wie "Verknüpfungen bzw Summen bzw Produkte von stetigen Funktionen sind stetig" verwenden.
Für die Stetigkeit eines Intervalls kann man das Epsilon-Delta Kriterium verwenden.
Im Internet findet man hierzu ziemlich viel.
lg
Schreib mal die Funktion, um die es geht.
Die Epsilon-Delta-Variante haben wir nicht gemacht. Gibt es da nicht noch eine andere Möglichkeit?