Frage von Kazooh, 79

Volumen zwischen zwei Funktionen berechnen?

Ich bräuchte Hilfe bei diesem Beispiel:

Die Kurven f(x) = x^2-4 und g(x) = -2x^2+8 schließen eine Fläche ein. Diese Fläche rotiert um die y-Achse. Berechnen Sie das Volumen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 19

Hallo,

24*π FE³ ist die korrekte Lösung.

Du bildest zunächst die Differenzfunktion aus f(x) und g(x):

h(x)=x²-4+2x²-8=3x²-12

Nun bildest Du die Umkehrfunktion, weil die Formel für das Rotationsvolumen nur für die Rotation um die x-Achse gilt, nicht für die Rotation um die y-Achse.

Du vertauschst also x und y und löst nach y auf:

x=3y²-12

3y²=x+12

y²=x/3+4

Die Wurzel ziehst Du jetzt nicht, weil Du für die Formel ohnehin (f(x))² brauchst, dann paßt y² ja hervorragend.

V=π·∫(x/3+4)=π·x²/6+4x

Nun mußt Du nur noch die Integrationsgrenzen feststellen.

Die Nullstellen von h(x) liegen bei 2 und -2 (das sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte von f(x) und g(x). 

Weil Du es aber mit der Umkehrfunktion zu tun hast, ist die Geschichte um 90° nach rechts gekippt, Du mußt also berechnen, wo die Umkehrfunktion die beiden Achsen schneidet.

Die Umkehrfunktion ist y=√(x/3+4)

Diese wird Null bei x=-12 und schneidet die y-Achse bei 2.

Du mußt also von -12 bis 0 integrieren.

Für x=0 wird π·x²/6+4x auch 0, für x=-12 bekommst Du π*|24-48|=24π

Genau dieses Ergebnis steht auch in Deiner Lösung.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Kazooh ,

Endlich verstehe ich es, Danke!! :-)

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 43

Erst bildest du die Differenz der beiden Kurven.
Das Ergebnis integrierst du innerhalb sinnvoller Grenzen (nicht über eine Nullstelle der Differenzfunktion hinausintegrieren), aber da hier eine Art Grundfläche zum Tragen kommt, musst du die Funktion quadrieren, mit π multiplizieren und dann integrieren.

Kommentar von Kazooh ,

Okay vielen Dank, aber warum muss man die Funktion quadrieren und mal pi rechnen?

Kommentar von Volens ,

Du stellst dir vor, es sind unendlich viele übereinander (oder besser nebeneinander) gelegte Flächen, die ja jede als Formel π r² haben.
Du integrierst entlang der x-Achse. Das ist dann die Höhe.
Das Integrieren ermöglicht, das Volumen von Körpern mit gekurvten Seiten zu berechnen.

Kommentar von Kazooh ,

Danke, ich komme leider trotzdem nicht auf das Ergebnis in meinem Lösungsbuch, dort ist das Ergebnis 24*pi E^3

Haben Sie es durchgerechnet?

Kommentar von Volens ,

Ich komme von -2 bis +2 auf 965,10 V.E. (dank Wolfram). Zu Fuß habe ich es nicht durchgerechnet. Hast du die Schnittstellen richtig?
Ich denke, dass meine stimmen, werde aber gleich nochmal gucken.

Kommentar von Kazooh ,

Ja ich komme mit deiner Methode auch auf das Ergebnis, aber vielleicht ist das Lösungsbuch nicht ganz korrekt^^

kurze Frage noch wieso wird das Ergebnis in 24*pi angegeben?

Kommentar von Volens ,

Da das Integral ja mit π * (f(x))² gerechnet wird, kann man einen Term auch im π-fachen stehen lassen, bevor man das Ergebnis ausrechnet. Die Zahl vor π ist häufig ganzzahlig oder zumindest sehr einfach. Dezimalen und Runden in der soundsovielten Stelle kommt dann immer erst nach der Multiplihation mit π.

Kommentar von Volens ,

Ich habe mir die geometrische Situation noch einmal vergegenwärtigt. Hier geht es leider nicht um eine Röhre mit Außen- und Innendurchmesser, sondern die Kurven sind insofern verwandt, als eine das Doppelte der negativen anderen ist. Sie kreisen also ineinander. Bilde ich die Volumina einzeln und subtrahiere sie, ist das Ergebnis vom ersten verschieden, kommt aber immer noch nicht auf 24π.

Kommentar von Kazooh ,

Okay dann muss ein Fehler im Lösungsbuch vorliegen.

Trotzdem vielen Dank für die Mühe!

Kommentar von Volens ,

Meistens hat das Lösungsbuch doch recht. Vielleicht habe ich ja auch was übersehen.
Aber du hast einen vertretbaren Lösungsweg, wenn die Aufgabe durchgesprochen wird. Den kannst du auch vertreten, selbst wenn ein Denkfehler darin sein sollte - oder auch nur ein Interpretationsmangel. Das ist Lehrern immer noch lieber, als wenn die Schüler sich gar nicht damit beschäftigt oder vorzeitig die Flinte ins Korn geworfen haben.

Antwort
von Flo11121999, 45

Du musst mit einer integralrechnung die fläche zwischen den kurvem ausrechnen. Dann die fläche quadrieren und mal pi rechnen fertig. 

Kommentar von Volens ,

Wichtig! Quadrieren nicht vergessen. Eine Fläche ist π r².

Antwort
von EStar1233, 43

Rechnest die Schnittpunkte der beiden Graphen aus indem du die gleichsetzt
Dann nimmst du das integral mal Pi der oberen Funktion minus das integral mal Pi der unteren Funktion

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