Vielfachheit Nullstelle?
Hallo,
sei f(x) = x⁴ - 2x, NST und deren Vielfachheit bestimmen.
f(x) = x(x³-2)
x = 0 v x = 2⅓
Wie bestimme ich da die Vielfachheit der Nullstellen? Mich irritiert gerade x³-2, müsste man das dann nicht weiter zerlegen?!
3 Antworten
Es sind zwei einfache (reelle) Nullstellen.
Zusätzlich gibt es zwei einfache kunjugiert komplexe Nullstellen.
Man kann x³ - 2 durch (x - 2^(1/3)) teilen (Polynomdivision). Dann bekommt man einen Term zweiter Ordnung, der sich nicht weiter zerlegen lässt, weil er keine reelle Nullstelle hat.
Ich bezeichne 2^(1/3) mit D.
Nullstellen sind x und D.
Polynomdivision ergibt:
(x³ - 2) / (x - D) = x² + Dx +D².
Damit wird x⁴ - 2x = x * (x - D) * (x² + Dx + D²).
Der letzte Faktor (mit x²) lässt sich nicht in Faktoren zerlegen.
Die Faktoren x und (x - D) treten jeweils genau einmal auf, also sind 0 und D einfache Nullstellen.
Ah ok, ich dachte zuerst man könnte den letzten Faktor mit der PQ Formel zerlegen, aber das wäre ja eine komplexe Lösung?! Dann verstehe ich es danke. Mich hat nur irritiert, dass im Buch x³=2 ohne Begründung direkt als 3 fache NST dargestellt wird.
Obwohl es ja, wie du gezeigt hast, eine einfache NST ist.
Die Vielfachheit ist 3, wegen x^3. Oder: Die Vielfachheit ist 3, weil die Anzahl aller Nullstellen mit Vielfachheit gezählt exakt 4 ist und eine Nullstelle bei x = 0 ist.
Aber wenn ich den Graphen plotte ist dort nur eine einfache NST.
Ah ja. x^3-2 hat ein komplex konjugiertes Nullstellenpaar. Das sind dann in Summe zwei Nullstellen. Entsprechend hat die reelle Nullstelle Vielfachheit 1.
Aber wie komme ich da drauf ohne es zu plotten? Normalerweise zerlegt man ja in Linearfaktoren, wie macht man das hier?
Genauso. Du berechnest die Nullstellen. Wenn es nur eine Nullstelle bei einem Polynom dritten Grades gibt ist die Vielfachheit 3. Gibt es ein komplex konjugiertes Nullstellenpaar, also 2 komplexe Nullstellen, hat die reelle Nullstelle zwangsläufig Vielfachheit 3-2 = 1
Ich bin in der 12 ;). Ich weiß zwar ein bisschen was über komplexe Zahlen aber die restlichen Begriffe sagen mir nichts :(. Also angenommen ich habe einen Ausdruck wie (x³-2). Das setze ich ja null. Aber wie kommst du dann von einer NST auf zwei weitere?
Habe es jetzt verstanden, die im Buch schreiben einfach 3fache NST xd...
x⁴−2x = x ⋅ (x³−2) = x ⋅ (x−³√2) ⋅ (x²+³√2x+³√4) =
x ⋅ (x − ³√2) ⋅ (x + (1+i√3)/³√4) ⋅ (x + (1−i√3)/³√4)
Also gibt es vier Lösungen (zwei reell, nämlich 0 und ³√2) und zwei komplex. Alle haben die Multiplizität 1.
Danke, habe ich auch gedacht, die im Buch schlussfolgern aber einfach aus x³=2, dass diese NST die Vielfachheit 3 hätte.
Das ist falsch, weil die Gleichung x³=2 drei verschiedene Lösungen hat — denke an x³=1, das hat einfach drei Einheitswurzeln als Lösungen, nämlich 1 und ½(−1±i√3). Für Deine Gleichung mußt Du das nur noch mit ³√2 skalieren. Da ich das nur im Kopf gerechnet habe, solltest Du das nochmals numerisch auf Vorzeichenfehler und ähnliches Ungeziefer überprüfen.
Danke. Wie kommt man aber darauf, dass 2⅓ auch einfach ist?