Bestimmen sie alle Nullstellen der Funktion im Intervall (0;π)?

Bestimmen sie alle Nullstellen der Funktion im Intervall (0;π)

a) sin(x-π/2)

Ich habe das schon mit der Substitution ausgerechnet, da kam einmal z0=π/2 und z₁0=π/2 raus, ist das dann die einzige Nullstelle oder soll ich die Rücksubstitution noch durchführen?

Answer 1

[mihisu]

Was für eine Substitution hast du durchgeführt z = x - π/2? Wie bist du denn dann auf „z0=π/2 und z₁0=π/2“ gekommen? Hast du da dann nicht schon rücksubstituiert? Denn bei sin(z) = 0 erhält man doch zunächst z ∈ {..., -π, 0, π, 2π, ...} als Lösungen. Für z = π/2 wird sin(z) doch gar nicht gleich 0.

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$\sin(x-\frac{\pi}{2})=0$ $\Leftrightarrow\quad x-\frac{\pi}{2}\in \left\lbrace k\cdot \pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$ $\Leftrightarrow\quad x\in \left\lbrace \frac{\pi}{2}+k\cdot \pi \,\middle|\, k\in\mathbb{Z}\right\rbrace$ $\Leftrightarrow\quad x\in \left\lbrace \ldots, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \ldots\right\rbrace$

Mit der Nebenbedingung, dass x ∈ ]0, π[ sein soll, erhält man π/2 als einzige Nullstelle.

Comments

[kelama291]

Einmal das 1.Ergebnis von der Subsitution und das 2.Ergebnis habe ich von der Symmetrie hergeleitet--> pi-pi/2

[mihisu]

@kelama291

Dein Kommentar beantwortet nicht, was du denn nun überhaupt substituiert hast, und wie du auf z₀ = π/2 als erstes Ergebnis gekommen bist.

Anstatt deinen Kommentar von der anderen Antwort zu kopieren, könntest du dir ja erst einmal durchlesen, was ich überhaupt geschrieben habe, und versuchen, das zu verstehen.

[kelama291]

@mihisu

das war zwar mein kommentar... aber ich habe z=x-pi/2 substituiert

[mihisu]

@kelama291

Ich habe ja auch „deinen Kommentar“ geschrieben. (Es ging eher darum, dass ich das Gefühl hatte, du schreibst einfach unter jede Antwort quasi den gleichen Kommentar, ohne dir die Antwort überhaupt richtig durchgelesen zu haben.)

Ok, du hast, wie zu erwarten, z = x - π/2 substituiert. Das kann man machen und ist auch zielführend. Nun bleibt als nächstes zu klären, wie du damit nun auf „z0=π/2“ gekommen bist. Denn, wie bereits erwähnt, wird sin(z) für z = π/2 überhaupt nicht 0. Du hast also entweder schon rücksubstituiert (wobei dann „x₀ = π/2“ eine deutlich sinnvollere Bezeichnung wäre statt „z0=π/2“; und deine Frage, ob du noch rücksubstituieren sollst, hätte sich dann erledigt) oder du hast einen Fehler gemacht.

Answer 2

[Kelec]

Keine Ahnung wie du die Substitution jetzt genau gemacht hast dass du da 2 Ergebnisse stehen hast.

Aber ein um pi/2 nach rechts verschobener Sinus ist ja am Ende auch nur ein -cos(x) womit die eine Nullstelle im Intervall bei pi/2 offensichtlich wird. Und man erkennt auch dass es keine andere Nullstelle mehr gibt.

Comments

[kelama291]

Ja einmal das 1.Ergebnis von der Subsitution und das 2.Ergebnis habe ich von der Symmetrie hergeleitet--> pi-pi/2

[Kelec]

@kelama291

Ja wobei du ja ohnehin nur eine Halbe Periode betrachtest.

[kelama291]

@Kelec

Also dann 1/2 * π oder wie...

[Kelec]

@kelama291

Was meinst du damit?

Es gibt nur eine Nullstelle bei pi/2. Die anderen Nullstellen welche du aus der Periodizität bekommen würdest sind ja nicht mehr in deinem Intervall.

[kelama291]

@Kelec

Das war ja meine frage, ob das die einzige Nullstelle ist oder ob ich die rücksubsitution durchführen soll.

[Kelec]

@kelama291

Ja das hab ich ja in der Antwort bereits geschrieben.

Es kann nur eine Nullstelle in dem Intervall geben.

Rücksubstitution sollte man immer machen können wenn dann was falsches raus kommt wurde falsch substituiert oder resubstituiert.